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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
die Gleichungen der Achse, so hat die Kugelschar die Gleichung: 
(* — ffo) 2 + (V ~ VoY + (« — ¿o) 2 = 
fügt man dazu die durch Differentiation nach u entstandene: 
so führt die Elimination von u zwischen beiden zur Gleichung 
der Röhrenfläche. 
Die zweite Gleichung stellt die Normalebene der Achse 
im Mittelpunkte der Kugel u dar; demnach ist der durch diese 
Ebene aus der Kugel geschnittene größte Kreis die Charak 
teristik. Dadurch also unterscheiden sich die Umhüllungsflächen 
mit konstantem Kugelradius von jenen mit veränderlichem 
Halbmesser, daß hei ersteren die Ebene der Charakteristik 
durch den betreffenden Punkt der Bahnkurve geht, was bei 
den letzteren im allgemeinen nicht zutrifft. Des weiteren geht 
aus der letzterwähnten Tatsache hervor, daß man eine Röhren 
fläche auch durch eine solche Fortbewegung eines starren 
Kreises erzeugen kann, bei der der Mittelpunkt eine Linie 
durchläuft und die Kreisebene zu ihr beständig normal bleibt. 
Um die Rückkehrkante zu bestimmen, hätte man den 
obigen zwei Gleichungen noch 
O £5 
anzufügen. 
Zwei spezielle Röhrenflächen sollen besonders angeführt 
werden: der Kreiswulst oder Torus und die Schraubenröhren- 
fläche; bei dem ersteren ist die Achse ein Kreis, bei der letzteren 
eine gemeine Schraubenlinie. Der Kreiswulst kann auch als 
Rotationsfläche, die Schraubenröhrenfläche auch als Schrauben 
fläche aufgefaßt und erzeugt werden. 
Ordnet man die Achse des Torus so an, daß ihre Glei 
chungen lauten: