Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 529 
so erhält man die Gleichung des Torus selbst durch Elimination 
von u zwischen 
{x — R cos u) 2 (y — R sin u) 2 -f z 2 = r 2 
x sin u — y cos u = 0; 
in rationaler Form lautet sie: 
(x 2 + V* + £ 2 + R 2 - r 2 ) 2 = 4 B 2 ( ; x 2 + y 2 ). 
Für die Rückkehrkante kommt noch die Gleichung 
X cos u -f y sin u = 0 
hinzu; die beiden Gleichungen 
x sin u — y cos u = 0 
x cos u + y sin u — 0 
werden, da ihre Determinante von Null verschieden (= 1) ist, 
nur durch x = 0, y = 0 befriedigt und hiermit ergibt die erste 
Gleichung 
£ 2 = r 2 - R 2 ; 
dies hat nur dann reelle Bedeutung, wenn ist; ist iü<r, 
so besteht die Rückkehrkante in zwei singulären Punkten der 
Fläche mit den Koordinaten 0/0/+]/r 2 —R 2 ; ist R = r, so ist 
nur ein solcher Punkt, 0/0/0, vorhanden. 
196. Abwickelbare Flächen. Eine spezielle Gattung 
von Einhüllenden einfach-unendlicher Flächenscharen erfordert 
vermöge ihrer Wichtigkeit eine besondere Betrachtung. Sind 
nämlich die Flächen der einfach-unendlichen, also von einem 
veränderlichen Parameter abhängigen Schar Ebenen, so heißt 
die Einhüllende eine abwickelbare oder developpable Fläche oder 
eine Developpable kurzweg. 
Es seien A, B, G, D stetige Funktionen von u und 
(10) Ax + By + Cz + D = 0 
die Gleichung der Ebenenschar. Durch Differentiation nach u 
entsteht eine neue in bezug auf x, y, z lineare Gleichung: 
(11) A'x + B'y + C'z + D' = 0; 
die Charakteristik der Developpablen ist also eine Gerade und 
sie selbst als Ort von Geraden eine Begelfläche. Ihre gerad 
linigen Erzeugenden sind als Charakteristiken Tangenten an die 
Czuber; Vorlesungen. I. 3. Aufl. 34