Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 531 
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nochmalige Differentiation nach u liefert zunächst: 
A' d ,- + B'p+ C'~ Z 
du du du 
A^ + B d ;S + C~ = 0; 
du 2 du 2 1 ^ du^ 
wenn man aber die zweite differentiiert, so erhält man unter 
Berücksichtigung der dritten 
/7/1/ rl ?. ^ 
A' dx + B' d /+ G'~ 
du du du 
und damit reduziert sich die vorangehende Gleichung auf 
(15) 
A™ + Bp i+ C'-f-'.-O. 
dy 
dz 
dz 
dx 
dx 
dy f 
I d?y 
d 2 z\ '' 
d 2 z 
d 2 x 
d 2 x 
d 2 y\ 
du 2 du 2 ' w du 2 
Mittels der Gleichungen (14) und (15) drücken sich die 
Verhältnisse der Koeffizienten A, B, G wie folgt aus: 
A:B:C 
die gleichen Verhältnisse aber bestehen zwischen den Rich 
tungskoeffizienten der Oskulationsehene im Kuryenpunkte u 
(178, (6)); es ist also tatsächlich die Ebene u der Schar Os 
kulationsehene im zugehörigen Punkt der Gratlinie. 
Man kann aber auch, von einer Raumkurve ausgehend, 
zeigen, daß die Einhüllende ihrer Oskulationsebenen identisch 
ist mit ihrer Tangentenfläche (174, 1)). 
Benutzt man nämlich für die Raumkurve die früher ge 
brauchten Bezeichnungen und den Bogen s als Parameter, so 
schreibt sich die Gleichung der Oskulationsehene 
(16) (| — x) cos cp + {tj — y) cos cp -f (£ — z) cos % = 0; 
differentiiert man sie, um die Charakteristik zu bestimmen, 
nach s, so entsteht zuerst 
/c. -v cl cos cp . s 
~ds + dl 
n dcos 'ib . v (Zoos v 
y) + (£-*) 
ds ^ ' ds 
— (cos a cos cp -f cos ß cos cp -f- cos y cos j) = 0; 
der letzte Klammerausdruck hat den Wert Null, und berück 
sichtigt man im übrigen die Gruppe (II) der Eren et sehen 
Formeln (183), so lautet die letzte Gleichung endgültig: 
(17) (£ — x) cos X -f- (rj — y) cos g + (£ — z) cos v = 0 
und stellt die rektifizierende Ebene dar; folglich wird (16) 
durch (17) tatsächlich längs einer Tangente der Raumkurve 
geschnitten.