Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 545 
Die Differenz D — B drückt den kürzesten Abstand des 
Punktes von der Kugel aus; da die Kugel, um bestimmt 
zu sein, noch drei Bedingungen unterworfen werden muß, so 
setzen wir fest, der kürzeste Abstand solle von höchstmög- 
lieber, also von vierter Kleinheitsordnung sein; dazu ist not 
wendig, daß zunächst: 
(x 0 — x) cos a + (t/ 0 — y) cos ß + (z 0 — z) cos y = 0 
(pc 0 — x) cos X -f (y 0 — y) cos y -f- {z 0 — z) COS V = Q 
sei; und damit auch der Koeffizient von h z verschwinde, muß 
außerdem 
sein. Diese drei Gleichungen stimmen aber mit dem System 
(1) überein, aus welchem sich der Punkt (2) ergeben hat, und 
damit ist die aufgestellte Behauptung erwiesen. 
Die oskulierende Kugel berührt die Kurve in Jf; denn da 
ihr Mittelpunkt vermöge der ersten Gleichung in der Normal 
ebene von M liegt, so ist die Tangente an die Kurve zugleich 
Tangente der Kugel. Die Berührung ist als eine solche der 
dritten Ordnung zu bezeichnen (147). 
Für den Halbmesser B der oskulierenden Kugel hat man 
nun auf Grund von (4) und (2) die Bestimmung: 
(6) 
203. Der Krümmungskreis. Die oskulierende Kugel 
schneidet die oskulierende Ebene des Punktes M nach einem 
die Kurve in M berührenden Kreise, dessen Elemente sich wie 
folgt bestimmen. 
Sein Mittelpunkt ist der Fußpunkt der Geraden 
— x) cos a -fi (rj — y) cos ß + (£ — z) cos y = 0 
v ' [(£ — #) cos X -f (rj — y) cos y + (£ — z) cos v = q 
auf der Oskulationsebene von C in M } deren Gleichung ist: 
(8) (| — x) cos cp + (rj — y) coS 2p + (£ — z) cos i = 0; 
denn jene Gerade geht laut (1) durch den Mittelpunkt der 
Kugel und steht auf der Ebene (8) normal. Behält man also 
Cz Tiber, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 35