Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 551 
, (2) folgendes 
ei v! durch die 
le mit der ge- 
linie auf einem 
te durch einen 
die zweite die 
e mit der ur- 
nnach eine ab- 
Raumkurve. 
; sich auf eine 
Definition der 
zum Ausgang 
^enschaft legt, 
ursprünglichen 
flaumkurve — 
rd, auch eine 
sämtlich auf 
butenfläche ge- 
Evolute Anlaß 
jrratlinie eben 
Kg. 1X4. 
Ist nämlich C eine Evolute von C, M ein Punkt der 
selben und M'M die Tangente in diesem Punkte an C und 
zugleich Normale in M zur Kurve C, so erfolgt, sobald M 
auf C sich zu bewegen beginnt, eine momentane Drehung von 
MM' um den Punkt M': gleichzeitig dreht sich die Normal 
ebene von M augenblicklich um die Krümmungsachse des Punktes 
M] soll demnach M'M. normal bleibe^, zur Kurve C, so muß 
M r auf der Krümmungsachse liegen. Es gehört also der einem 
beliebigen Punkte M zugeordnete Punkt M der Evolute der 
Krümmungsachse von M an, folglich 
liegt die ganze Evolute auf der Polar 
fläche. 
Um die Evoluten analytisch zu 
charakterisieren, seien die Koordinaten t 
des Punktes M' einer solchen mit x, y, /, 
sein Abstand von der Oskulationsebene 
mit ö bezeichnet mit der Festsetzung, 
daß ö positiv oder negativ ist, je nach 
dem die Strecke SIM' (Fig. 113) die positive oder negative 
Richtung der Binormale hat; für den Punkt M werden alle 
bisher eingeführten Bezeichnungen beibehalten. 
Die Koordinatendifferenzen der Punkte M und! flf' ergeben 
sich durch Projektion des rechtwinkligen Linienzuges MSIM' 
auf die drei Koordinatenachsen wie folgt: 
(12) 
X — X = Q COS /1 + 0 COS (f 
y — y = Q COS g + 6 COS 
z — Z — Q COS v'-\- (5 COS X . 
Die Koordinatendifferenzen sind den Kosinus der Richtungs 
winkel von MM' proportional; denselben Richtungskosinus 
sind aber, da MM' Tangente an die Evolute ist, auch die 
Quotienten ^proportional; daher bestehen die Re 
lationen: 
(13) 
X — X 
p 
dx 
ds 
y —y 
P 
dy' 
ds ; 
z —z 
p 
dz 
ds 
wobei p den Proportionalitätsfaktor bedeutet. Führt man die