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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
müssen die Gleichungen (2) die Gleichung (1) identisch er 
füllen. Aus der Beziehung 
(3) dz =pdx + (idy, 
die für eine infinitesimale Bewegung auf der Fläche, also auch 
längs der Kurve Geltung hat, ergibt sich, wenn man durch das 
Bogendifferential 
ds = ydx 2 -f- dy 2 + dz 2 
= i/(l -f p 2 )dx 2 -f (1 + q 2 )dy 2 -f 2pqdxdy 
der Kurve dividiert, die Beziehung 
(4) cos y — p cos a -)- q cos ß 
zwischen den Richtungkosinus der Tangente MT. 
Durch Differentiation von (4) in bezug auf s erhält man 
unter Zuhilfenahme der Freuet sehen Formeln: 
cos v p cos l q_ cos p 
Q Q 
oder 
, / dx . dy\ 
+ { r ds+ s äi) e0sc ‘ 
+ ('£ + ‘3fH* 
(5) 
p cos l — q cos p 4- cos v « , n ■ a . , 9 a 
— ^ J = r cos“ cc + 2 s cos a cos ß ff- t cos 4 ß. 
Es sind aber (191, (29)) 
— P —<1 1 
Vp* + 3* +1 Vp 2 + z* + i + 
wenn die Quadratwurzel positiv genommen wird, die Kosinus 
für diejenige Richtung AfA 7 der Flächeunormale in M, welche 
mit der positiven ¿-Achse einen spitzen Winkel einschließt; 
cos l, cosg, cosv hingegen die Kosinus der positiven Rich 
tung MH der Hauptnormale von C in Jf; demuach bedeutet 
— p cos l — q cos p -)- cos v 
Vp 2 + T + 1 
den Kosinus des Winkels 0 der genannten zwei Richtungen. 
Hiermit aber geht die letzte Formel über in: 
(6) 
cos 0 r cos 2 cc -f- 2 s cos cc cos ß -(- t cos 2 ß 
Q yy + 2* + 1 
Dies ist die Grundgleichung für die Krümmungstheorie der 
Flächen.