Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 559 
209. Die Krümmung der Normalschnitte. Der Satz 
von Euler. Um den Ausdruck für die Krümmung des Nor 
malschnittes durch die Tangente MT zu erhalten, hätte man 
in der Formel (6) 
6 = 0 oder 6 = 7t 
zu setzen, je nachdem deren rechte Seite positiv oder nega 
tiv ist. 
Behält man die Substitution 6 = 0 für alle Fälle bei, so 
hat der Krümmungsradius E aufgehört eine absolute Größe zu 
sein; das Vorzeichen, welches ihm die Formel gibt, hat nach 
dem vorigen Artikel die Bedeutung, daß bei positivem E der 
Normalschnitt seine konkave Seite nach der Richtung ME, 
welche im vorigen Artikel als die positive erklärt wurde, bei 
negativem E aber nach der entgegengesetzten Richtung wendet. 
Mit dieser Maßgabe bestimmt also die Formel 
/Q\ 1 i’ cos 2 cc -)- 2s COS CC cos ß -(- t cos 2 ß 
E ]/p 2 -f q 2 + 1 
nicht allein die Größe der Krümmung des Normalschnittes, 
sondern auch die Richtung seiner Konkavität, nachdem einmal 
in der Flächennormale eine Richtung als positiv festgesetzt 
worden ist. 
l 
B 
behält für alle Normalschnitte durch M dasselbe Yor- 
zeichen, die Konkavität ist also hei allen nach derselben Seite 
gewendet, wenn (121, 189) 
(9) 
rt — s 2 > 0 
ist. In einem solchen Punkt, in dessen Umgebung die Fläche 
ganz zu einer Seite der Tangentialebene liegt, bezeichnet man 
sie als konvex. 
wechselt während der Drehung des Norraalschnittes um 
die Normale, und zwar zweimal, durch Null gehend, sein Vor 
zeichen, wenn 
(10) 
rt — s 2 > 0 
ist. Ein Teil der Normalschnitte wendet die Konkavität nach 
der positiven, der andere Teil nach der negativen Richtung 
der Normale, und ebenso liegt die Fläche in der Umgebung