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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
von M zum Teil auf der einen, zum Teil auf der anderen 
Seite der Tangentialebene. In einem solchen Punkte bezeichnet 
man die Fläche als konkav-konvex. Die Grenze zwischen den 
beiden Arten von Normalschnitten wird durch zwei Normal 
schnitte gebildet, deren Krümmung Null ist, welche also in M 
Wendepunkte haben. 
In dem Grenzfalle, wo 
(11) rt — s 2 = 0, 
der Zähler auf der rechten Seite von (8) also ein vollständiges 
Quadrat ist, behält ^ auch beständig dasselbe Vorzeichen hei, 
verschwindet aber für eine bestimmte Lage des Normalschnittes. 
Es liegt nun nahe, nach denjenigen Normalschnitten zu 
fragen, für welche die Krümmung einen extremen Wert an 
nimmt. Um diese Untersuchung einfach zu gestalten, trans 
formieren wir das Koordinatensystem derart, daß sein Ursprung 
mit M, die ¿-Achse mit der Flächennormale, die Tangential 
ebene also mit der xy-Ebene zusamraenfällt; den Winkel, 
welchen die positive Richtung MT der Tangente mit der 
positiven ¿r-Achse im neuen System einschließt, nennen wir ca. 
Dann tritt in der Formel (8) ca an die Stelle von a, — ca 
an die Stelle von ß• p und q werden Null, weil nun die ersten 
zwei von den Kosinus (5) der Normale verschwinden; für die 
zweiten Diiferentialquotienten behalten wir auch in dem neuen 
System die Zeichen r, s, t bei und haben daher jetzt: 
(12) ~ = r cos 2 ca -f- 2s cos ca sin ca -f■ t sin 2 ca. 
Für die extremen Werte von ^ verschwindet 
ZU ) = — (r — ¡f) sin 2 ca + 2 s cos 2 ca, 
es ergibt sich daraus für die betreffenden Normalschnitte die 
Bestimmung 
( 13 ) t S 2co== r 2 ^r 
welche nur dann illusorisch wird, wenn gleichzeitig 
(14) r = t und s = 0