Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 39 
d, h. konvergiert f{x) zu beiden Seiten von a gegen eine und 
dieselbe bestimmte Grenze b, so kann man die Definition der 
Funktion, die an der Stelle a eine Lücke aufweist, vervoll 
ständigen, indem man dieser Stelle jenen Grenzwert zuweist, 
also f(a) = b setzt; die Funktion verhält sich dann in der 
Umgebung von a wie eine stetige Funktion. 
Eine ähnliche Bestimmung kann getroffen werden, wenn a 
mit a oder ß (cc<Cß) zusammenfällt und f(x) für lim x = cc + 0, 
beziehungsweise für lim x = ß — 0 gegen eine bestimmte Grenze 
konvergiert. 
Die Funktion fix) = x cos — ist an der Stelle x = 0 nicht 
definiert, weil 0 als Nenner nicht zulässig ist; von welcher 
Seite sich aber x der Null nähern mag, konvergiert fix) gegen 
Null. Füllt man also die Lücke in der Definition durch die 
Festsetzung f(0) = 0 aus, so verhält sich die Funktion an 
dieser Stelle wie eine stetige Funktion; bei jeder anderen Fest 
setzung für f(0) würde sie hier unstetig sein. 
2) Wenn jedoch cc < a < ß und 
lim fix) = b, lim f(x) = b' 
x = a — 0 x = a-1-0 
und b =f= V, so heißt die Funktion an der Stelle a unstetig oder 
diskontinuierlich, gleichgiltig ob f[a) existiert oder nicht und 
welchen Wert es auch hat, und man sagt von ihr, sie springe 
von h auf b' über. Es läßt sich jetzt keine Umgebung von a 
konstruieren derart, daß für zwei ihr angehörende beliebige 
Werte x r , x" \ fix)—fix") | beliebig klein würde. 
Ein solches Verhalten zeigt beispielsweise die Funktion 
fix) = i a > i) 
a x -fl 
an der Stelle x == 0, wo sie nicht definiert erscheint; denn es 
ist lim fix) — —■ 1, hingegen lim fix) = 1. 
x——0 x=+Q 
3) Wenn für den innerhalb (a, ß) befindlichen Wert a bei 
dem einen oder dem andern der Grenzübergänge lima;==a — 0 
und limx = a-f 0 ein bestimmter Grenzwert b, bei dem andern 
der Grenzwert oo (mit bestimmtem oder unbestimmtem Vor 
zeichen) zustande kommt, so verhält sich die Funktion auf