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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Nach den Darlegungen in 165 ist für diesen Schnitt der 
Punkt M ein Doppelpunkt, und zwar ein Knotenpunkt, wenn 
rt — s 2 < 0, 
also wenn M ein hyperbolischer Punkt ist; die Tangenten in 
ihm fallen mit den Asymptoten der Indikatrix zusammen, weil 
die Gleichung, welche diese Tangenten bestimmt, d. i. 
rx 1 + 2sxy -f ty 2 = 0, 
das Unendlichwerden von 11 zur Folge hat (209, (12)). 
Der Punkt M ist für die Schnittkurve ein isolierter Punkt, 
wenn 
rt — s 2 > 0, 
d. h. wenn M ein elliptischer Punkt ist. Da hier alle Be 
dingungen für ein Extrem der Funktion z erfüllt sind, so ist 
der Wert z = 0, den sie in M hat, ein Maximum oder ein 
Minimum, je nachdem die benachbarten Werte z negativ oder 
positiv sind. 
In dem Grenzfalle 
rt — s 2 = 0, 
der einen parabolischen Punkt anzeigt, kann der Schnitt (21) 
in M eine Spitze, Selbstberührung oder auch einen isolierten 
Punkt mit reeller Tangente aufweisen. Ist die Fläche ab 
wickelbar (198, (23)), so hat die Tangentialebene mit ihr eine 
Erzeugende gemein, die zweifach gezählt als Durchschnitt der 
Tangentialebene mit der Fläche anzusehen ist. 
212. Best immung der Hauptnormalschnitte und 
Hauptkrümmungsradien. Um für einen beliebigen Punkt 
einer gegebenen krummen Fläche die Lage der Hauptnormal 
schnitte und die Größe der Hauptkrümmungsradien zu be 
stimmen, gehen wir von dem allgemeinen Ausdruck 209, (8) 
für die Krümmung eines Normalschnittes: 
1 r cos 2 a-)- 2s cos a cos |3i cos 2 /? 
A j/pS _|_ ^2 _j_ i 
aus und stellen die Bedingung für deren extreme Werte auf; 
dabei ist zu beachten, daß die Winkel a, /3, die allein bei der 
Drehung des Normalschnittes um die Normale der Fläche sich