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Erster Teil. Differential-Rechnung, 
Setzt man diesen Wert in (25) ein und ordnet wie folgt: 
{rB — (1 + p*)w) cos a -f- [sB — pqw] cos /3 = 0, 
{sB — pqtv} cos a {tB — (1 + q 2 )tv} cos /3 = 0, 
so liefert die Elimination von cos a, cos ß die in bezug auf B 
quadratische Gleichung: 
(27) (rt—s 2 )B 2 —[(1 -\-q*)r—2pqs-\-(l -\-p*)t]wB-{- w 4 =0, 
welche, da sie aus den Bedingungen für die Extreme von ^ 
hervorging, die Größe der HauptkrümmungsTiaTbmesser bestimmt. 
.Das Vorzeichen des Produktes der Hauptkrümmungsradien 
stimmt vermöge dieser Gleichung mit dem Vorzeichen von 
rt — s 2 überein und es wird wenigstens einer der Radien un 
endlich, wenn rt — s 2 Null ist. Aus dieser Bemerkung lassen 
sich die drei Arten von Flächenpunkten (209—210) aufs neue 
ableiten. 
Man kann den beiden Gleichungen (26) und (27) mittels 
folgender Substitutionen eine einfache Form erteilen; setzt man 
nämlich 
(1 -j- cf)r — pqs 
(28) 
w a 
(1 + p 2 )s 
pqr 
w s 
B.2- 
(1 -f- q 2 )s — pqt 
(1 -f- p*)t — P qs 
so schreibt sich die Gleichung (26): 
(26*) B 1 cos 2 a — (A t — B 2 ) cos a cos ß — Ä 2 cos 2 /3 = 0 
und die Gleichung (27): 
1 A t A 2 
(27*) 
A A 
B 2 - (A x + B 2 )B + 1 = 0. 
An dieser Form läßt sich leicht erweisen, daß beide 
Gleichungen immer reelle Wurzeln ergeben. Es ist nämlich 
die Diskriminante der ersten Gleichung: 
I) = (A, - B 2 ) 2 + 4A,B lt 
die der zweiten: 
(A + AY - AAA - AA) = (A ~ AY + 4 a 2 b x = d, 
die Diskriminanten stimmen also überein, und hat man nach