Sechster Abschnitt, Anwendung der Differential-Rechnung usw. 579 
Das Gaußsche Krümmungsmaß einer Fläche in einem ihrer 
Punkte stellt sich hiernach als das Produkt der in diesem Punkte 
herrschenden Hauptkrümmungen dar. 
Im Zusammenhalte mit der oben getroffenen Festsetzung 
über das Vorzeichen des Krümmungsmaßes ergibt sich nun, 
daß positive Krümmung in einem elliptischen, negative Krüm 
mung in einem hyperbolischen und die Krümmung Null in 
einem parabolischen Punkte stattfindet.*) 
Als mittlere Krümmung einer Fläche in einem ihrer Punkte 
bezeichnet man die Summe (oder auch das arithmetische Mittel) 
der beiden Hauptkrümmungen. An der ersten Erklärung fest 
haltend hat man dafür den Ansatz: 
und mit Beziehung auf (27) den analytischen Ausdruck: 
(l -j- q 2 )r — 2pqs -f- (1 -f- p 2 )t 
(34) 
M 
216. Flächen mit besonderen Krümmungseigen 
schaften. Nicht das geometrische Interesse allein, auch 
Probleme der Mechanik und Physik haben zum Studium von 
Flächen Anlaß gegeben, die in ihrem ganzen Verlaufe gewisse 
Eigenschaften in bezug auf Krümmuug aufweisen. Zwei Gat 
tungen solcher Flächen sollen hier Erwähnung finden; Flächen 
von konstantem Krümmungsmaß oder kurz von konstanter 
Krümmung und Flächen von konstanter mittlerer Krümmung. 
o o 
*) Da es in gewissem Sinne der üblichen Vorstellung widerstrebt, 
in einem parabolischen Punkte, also in allen Punkten einer developpablen 
Fläche von der Krümmung Null zu sprechen, während die Fläche doch 
tatsächlich „gekrümmt“ ist, hat F. Casorati vorgeschlagen, die Größe 
als Krümmungsmaß schlechtweg einzuführen. Ent 
standen ist diese Größe aus folgender geometrischen Betrachtung. Man 
beschreibe um M in seiner Tangentialebene einen infinitesimalen Kreis, 
ziehe in den Endpunkten eines Radius die Flächennormalen, bestimme 
deren infinitesimalen Winkel und trage sein Bogenmaß auf ebendem 
selben Radius ab. Indem man sich dies an allen Radien ausgeführt 
denkt, entsteht um M eine geschlossene Figur und das Verhältnis ihres 
Inhalts zu dem Inhalte des Kreises ist das angeführte Casoratische 
Krümmungsmaß. Vgl. Acta mathem., Bd. 14 (1890). 
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