Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 589 
Mit diesen Ausdrücken gibt (5): 
dx 
(1 -f- cf){rdx -j- sdy) — pq{sdx -f- tdy) 
dy B 
(1-f- p 2 ){sdx-\-tdy) — pqirdx -(- sdy) w 85 
ordnet man die erste dieser Gleichungen nach dx, dy, so er 
hält man: 
, J[(l +i> 2 )s — pqr]dx* — [(1 +q 2 )r — (1 + p*)t]dxdy 
\ —■[{l + q*)8 — pqf\dy i = 0. 
Diese Gleichung bestimmt die Richtung der Tangenten an 
die durch den Punkt M gehenden Krümmungslinien; sie stimmt 
aber überein mit der Gleichung (26), welche sich in 212 zur 
Bestimmung der Tangentenrichtungen für die Hauptnormal 
schnitte im Punkte M ergab. 
Daraus folgt der Satz: Durch jeden Punkt einer krummen 
Fläche, sofern er nicht Nabelpunkt ist, gehen zwei stets reelle 
Krümmungslinien, welche die Hauptnormalschnitte dieses Punktes 
berühren und sich daher wie diese unter rechtem Winkel schneiden. 
Jede Fläche, die Ebene und die Kugel ausgenommen, be 
sitzt somit zwei Scharen von reellen Krümmungslinien derart, 
daß jede Linie der einen Schar jede der anderen Schar recht 
winklig schneidet. 
Die Gleichung (7) charakterisiert die Projektion der Krüm 
mungslinien auf der xy-Ebene und wird als Differentialgleichung 
der Krümmungslinien bezeichnet. 
Um die Rückkehrkante der abwickelbaren Normalenfläche 
längs einer Krümmungslinie näher kennen zu lernen, ordnen 
wir die beiden Gleichungen, welche sich aus (6) durch Verbin 
dung des ersten und zweiten Ausdrucks mit dem dritten er 
geben, nach dx, dy, aus dem so entstehenden Gleichungspaar 
{Ja [d + q*)r-pqs]- l]dx+f v , [(1 + q 2 )s-pqtjdy = 0 
f 3 [(l +P 2 )s —pqr]dx -f {* [(1 +P 2 )t ~pqs]- l\dy = 0 
geht durch Elimination von dx, dy die in bezug auf E qua 
dratische Gleichung 
(8) (rt-s*)R*-[(1 + q*)r-2pqs + { 1 + p*)t]wR + w 4 = 0