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Erster Teil. Differential-Rechimng. 
Unter den Flächen zweiten Grades gibt es zwei mit hyper 
bolischen Punkten: das einschalige Hyperboloid und das hyper 
bolische Paraboloid; die beiden Scharen ihrer Erzeugenden 
bilden zugleich die Scharen der Haupttangentenkurven. 
In einem parabolischen Punkte fallen die beiden Normal 
schnitte von der Krümmung Null in einen zusammen. Hat 
die Fläche oder Flächenregion nur parabolische Punkte, so ver 
einigen sich die beiden Scharen asymptotischer Linien zu einer 
einzigen. Auf einer abwickelbaren Fläche liegen also die beiden 
Scharen asymptotischer Linien vereinigt und werden durch die 
geradlinigen Erzeugenden der Fläche dargestellt. 
Auf einer Fläche oder Flächenregion mit elliptischen 
Punkten gibt es keine reellen asymptotischen Linien. 
Wenn eine Fläche aus Regionen mit hyperbolischen und 
aus solchen mit elliptischen Punkten besteht, wie dies beispiels 
weise bei dem 195, 3) erwähnten Torus der Fall ist, so wird 
die Grenze zwischen beiderlei Regionen durch Kurven mit 
parabolischen Punkten gebildet; von jedem Punkte einer solchen 
Kurve laufen dann zwei asymptotische Linien mit gemeinschaft 
licher Tangente aus. 
Während die stets reellen und rechtwinklig sich schneiden 
den Krümmungslinien den Verlauf der algebraisch größten und 
der algebraisch kleinsten Krümmung anzeigen, bezeichnen die 
nur bedingt reellen und im allgemeinen schiefwinklig sich 
schneidenden asymptotischen Linien den Verlauf der Krüm 
mung Null. 
Beispiel. Zur Bestimmung der asymptotischen Linien der 
geraden Konoide (187, 2 b)) 
'-'(*) 
bilde man mittels der Abkürzung 
die Differentialquotienteu: 
P -- -f'(u) V,, q-f'lu) 
>• - /» + 2f (u) f., « - - f" (») £ - f (») 4,