598 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Die letzten Bemerkungen zeigen, daß die längs einer geo 
dätischen Linie G umschriebene Developpable zugleich deren 
rektifizierende Developpable ist. 
Sie heiße für den Augenblick D. Da die Oskulations- 
ebene von G in einem Punkte M senkrecht ist auf der Tan 
gentialebene von D in diesem Punkte, so spielt G auf der 
Fläche D ebenfalls die Rolle einer geodätischen Linie. 
Daraus folgt der Satz; Eine geodätische Linie G auf einer 
Fläche F ist auch geodätische Linie auf jener Developpabeln, 
welche F längs G umschrieben ist. 
Zur Erläuterung diene das folgende einfache Beispiel. 
Auf einer Kugel ist jeder größte Kreis eine geodätische Linie; 
denn die (Haupt-)Normalen eines solchen sind zugleich Nor 
malen der Kugel. Die der Kugel längs eines solchen Kreises 
umschriebene Developpable ist der die Kugel in diesem Kreise 
berührende Zylinder; und auch für diesen Zylinder ist der 
Kreis geodätische Linie, weil seine Normalen zugleich Nor 
malen des Zylinders sind. 
222. Kürzeste Linien. Die kürzeste Verbindungslinie 
zweier Punkte auf einer krummen Fläche ist eine geodätische 
Linie dieser Fläche. 
Um dies zu erweisen*), nehmen wir an, zwei Punkte 
A, B auf der Fläche seien durch eine in der Fläche verlaufende 
Linie verbunden, welche unter allen genügend benachbarten 
die kürzeste ist. M sei ein Punkt dieser Linie, MT die zu 
gehörige Tangente; durch diese legen wir einen beliebigen 
Schnitt; sein Neigungswinkel gegen die Normale der Fläche 
in M sei 6. Auf dem Schnitte mögen nun zu beiden Seiten 
von M und sehr nahe daran zwei Punkte, M', M", angenommen 
werden derart, daß die Sehnen MM' und MM" gleiche Länge 
c haben; dann können auch die Bögen MM', MM" als gleich 
und als einem Kreise angehörend betrachtet werden, der den 
Krümmungshalbmesser q des betreffenden Schnittes in M 
zum Radius hat; bezeichnet schließlich t den Zentriwinkel, 
*) Ein zweiter Beweis dieses Satzes wird in der Variationsrechnung 
gegeben werden.