Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 599 
welcher in diesem Kreise der Sehne c zugehört, so hat man 
einerseits 
arc M'MM" = 2 ( >r 
und andererseits 
O * ^ 
C = ZQ Sin — • 
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich 
O * ^ 
x = ¿arc sin — 
2p 
und durch Entwicklung (99, 2)) bis zu dem Gliede dritter 
Ordnung in c: 
Hiermit ist dann 
arc M'MM"=2c + 2 : 
12 p 2 5 
bezeichnet aber i? den Krümmungshalbmesser des die Tan 
gente ATT berührenden Normalschnittes, so ist dem Satze von 
Meusnier zufolge (208) 
q — R cos 0; 
daher hat man schließlich 
arc M'MM" = 2c + Te)T? f 
' 12,B 2 cos 2 0 
Der Bogen M'MM" wird am kleinsten, wenn 6=0 
ist, wenn er also dem durch die Tangente MT gelegten Nor 
malschnitte angehört. Dies bleibt fortbestehen, wie klein auch 
die Sehne c, wie nahe auch die Punkte MM" an M liegen; 
da nun die auf der Fläche verzeichnete Linie als die kürzeste 
vorausgesetzt worden ist, so folgt daraus, daß die Grenzlage 
der Ebene, welche durch M und zwei benachbarte Punkte 
dieser Linie gelegt wird, die durch die Tangente in M gehende 
Normalebene ist. Diese Grenzlage ist aber die Oskulations- 
ebene der Kurve in Af; mithin geht bei der kürzesten Linie 
die Oskulationsebene in jedem Punkte durch die Normale der 
Fläche, und damit ist sie als eine geodätische Linie erwiesen. 
Daraus können mehrere wichtige Folgerungen gezogen 
werden.