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Erster Teil. Differential-Rechnung, 
Enthält eine Fläche gerade Linien, so gehören sie zu den 
geodätischen Linien der Fläche, weil sie kürzeste Linien zwischen 
je zweien ihrer Punkte sind. Bei einer Regelfläche gehören 
also die geradlinigen Erzeugenden zu den geodätischen Linien. 
Jede geodätische Linie einer abwickelbaren Fläche erscheint 
in der Abwicklung als gerade Linie. 
In 221 ist die Tatsache festgestellt worden, daß einer 
Raumkurve auf ihrer rektifizierenden Deyeloppabeln, d, i. auf 
jener Fläche, welche die Ebenen durch Tangente und Binormale 
einhüllt, die Rolle einer geodätischen Linie zukommt; daher 
erscheint die Raumkurve in der Abwicklung dieser Deyelop 
pabeln als Gerade, und hierin liegt der Grund für die Namen 
„rektifizierende Ebene“ und „rektifizierende Developpable“. 
Die Umkehrung des an der Spitze dieses Artikels stehen 
den Satzes ist aber nicht immer zutreffend; eine geodätische 
Linie zwischen zwei Punkten A, B braucht nicht auch die 
kürzeste Linie zwischen diesen Punkten zu sein. Einfache 
Beispiele hierfür bieten die Kugel und der Zylinder. Die 
beiden Bögen, in welche der durch A, B gelegte Hauptkreis 
der Kugel zerfällt, sind geodätische Verbindungen der beiden 
Punkte; aber nur einer von ihnen ist auch die kürzeste Linie 
(sofern A, B nicht diametral gegenüberliegen). Jede Schrauben 
linie, die man durch zwei Punkte A, B eines Zylinders führt, 
ist eine geodätische Verbindung; aber unter den unendlich 
vielen links und rechts gewundenen Schraubenlinien ist nur 
eine die kürzeste Linie zwischen A und B, diejenige näm 
lich, welche von A bis B nicht mehr als einen halben Gang 
zurücklegt. 
Der Name der geodätischen Linie stammt daher, daß eine 
Linie, die auf der mathematischen Erdoberfläche (dem ab 
geplatteten Rotationsellipsoid) nach dem üblichen Verfahren 
in relativ kurzen Absätzen abgesteckt würde, die Eigenschaften 
aufwiese, welche das Wesen einer geodätischen Linie in mathe 
matischem Sinne ausmachen. Die geodätischen, d. i. von geo 
dätischen Linien begrenzten Dreiecke auf dem Erdellipsoid 
entsprechen den sphärischen Dreiecken auf der Kugel und den 
geradlinigen in der Ebene.