Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 601 
223. Geodätische Linien auf Rotationsflächen. Die 
Gleichung einer Rotationsfläche, deren Achse die ¿-Achse ist, 
kann in der Form (187, 4)) 
z = f{u), wenn u = Yx 2 -f- y 2 , 
geschrieben werden. Aus ihr ergibt sich; 
P 
xf " (u) 
f w u 
r= 
‘1-f («)•„■’ 
yf O) 
z = 
Uyi -\-f (u) 2 ’ " u yi 4- f (m) 2 ’ y 1 + f (u)* 
und in Ausführung der Gleichungen (14): 
xf {u) yf'iu) —u 
d 2 x d 2 y d-z 
ds 2 ds 2 ds 2 
Hieraus folgt die von f, also von der speziellen Form der 
Fläche unabhängige Gleichung: 
die in der Form 
d_ 
ds 
d 2 y 
d 2 x 
ds 2 
' V ds 2 = 
v d y 
dx\ 
x , 
^ ds 
~ y ds) 
0, 
geschrieben die Beziehung 
dy dx , . 
x -f- — \i j— = konst. 
ds J ds 
zur Folge hat. Führt man in dieser Relation, die sich auf 
die xy-Projektion bezieht, Polarkoordinaten ein und bezeichnet 
die Konstante mit r Q , so kommt die Gleichung 
rdw 
r = r n 
ds 0 
zustande. Darin bedeutet r den Radius des Parallelkreises, 
auf welchem der betrachtete Punkt liegt, rdy das Bogen 
element des Parallelkreises und ds das Bogendilferential der 
geodätischen Linie an der betreffenden Stelle, der Quotient also 
den Kosinus des Winkels, den diese Linie mit dem Parallel 
kreise oder den Sinus jenes Winkels a, den sie mit dem Meridian 
einschließt. Hiernach ist 
(15) r sin a — r 0 
d. h. das Produkt aus dem Badius des Parallelkreises mit dem 
Sinus des Neigungswinkels der geodätischen Linie gegen den 
Meridian ist in deren ganzem Verlaufe konstant.