Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 47 
df(x) 
dx ’ 
fix), D x f(x) 
oder kürzer, indem f(x) = y gesetzt wird, 
dy 
dx ’ 
V x y- 
Die analytische Bedeutung dieser neuen Funktion ist also durch 
die Gleichung 
(3) 
df{x) 
dx 
= f O) = I)J(x) = lim 
A = + 0 
f[x + h) — f{x) 
h 
gegeben, wenn der Grenzübergang bei unbestimmt gelassenem 
x ausgefübrt wird. 
Im 
allgemeinen geboren zu verschiedenen Werten von x 
auch verschieden« Werte von f\x); es gibt jedoch einen — und 
nur diesen einzigen — Fall, wo zu allen Werten von x der 
selbe Wert von f'(x) gehört, die Funktion an allen Stellen 
sich gleich stark ändert; es ist dies die rationale ganze Funktion 
ersten Grades f{x) = ax -f b- denn für sie ist der Differenzen- 
a{x -f- Ti) -j- b — {ax -f- b) 
quotient 
a, unabhängig von x, also auch 
D x (ax + &)=«; 
das geometrische Bild dieser Funktion — eine Gerade — 
spricht dies in vollster Deutlichkeit aus. 
Setzt man in der letzten Formel a = 0, so sagt sie, daß 
(4) B x h = 0; 
daß also der Differentialquotient einer konstanten Funktion oder 
eiher Konstanten kurzweg Null ist; mit a = 1 und h — 0 er 
gibt sich das oben schon gefundene Resultat 
(5) D.x-1, 
daß der Differentialquotient der Variablen x selbst die Ein 
heit ist. 
Die Existenz eines endlichen Diiferentialquotienten an einer 
Stelle x setzt die Stetigkeit der Funktion in der Umgebung 
dieser Stelle notwendig voraus; denn der Quotient (1) kann 
bei gegen Null konvergierendem h nicht anders einem endlichen 
Grenzwerte sich nähern, als daß auch sein Zähler gegen Null 
(in einem Manuskript von 1676), Lagrange (Théorie des fonctions ana 
lytiques 1797) und Arbogast (Calcul des Dérivations 1800).