und h mit r zugleich gegen die Null konvergiert, so ist der
Differentialquotient das Verhältnis der Geschwindigkeiten, mit
welchen x und f(x) sich im gegebenen Augenblicke in ihren
Gebieten bewegen. Man kann somit den Satz aufstellen: Der
Differentialquotient einer Funktion f(x) an einer Stelle x ist die
Geschwindigkeit, mit welcher sich die Funktion an dieser Stelle
ändert, wenn die Variable x sich gleichmäßig mit der Geschwin
digkeit 1 ändert*).
2) Man betrachte x als Abszisse und f(x) = y als Ordinate
eines Punktes M in einem rechtwinkligen Koordinatensystem-,
dann beschreibt M, während x das Intervall («, ß) stetig
durchläuft, eine Kurve AJ5(Fig. 6). Die den Abszissen OP = x
Fig. 6.
und OP' = x h entsprechenden
Punkte M, M' besitzen die Ordina-
ten PM = f(x) und P'M' = f(x + h)
und bestimmen eine Sekante, deren
Richtung durch den Winkel QMS = cp
festgelegt werden möge; dann ist
fix -f- h) — f(x)
tg cp.
Konvergiert h gegen die Grenze Null, so nähert sich M' längs
der Kurve dem Punkte M, und die Gerade MS dreht sich um
den Punkt M. Die Aussage, der Differenzenquotient konver
giere dabei gegen einen bestimmten Grenzwert, ist gleich
bedeutend mit der Aussage, die Sekante nähere sich einer
*) Yon Betrachtungen solcher Art ist Newton bei Begründung-
der Infinitesimalrechnung (erste Publikation 1687 in den Philosophiae
naturalis principia mathematica) ausgegangen; an die Vorstellung des
VerfHeßens der Zeit anknüpfend nannte er die Variablen Fluenten und
die Änderungsgeschwindigkeiten Fluxionen, die Infinitesimalrechnung
FluxionsTcalkül. Newtons Bezeichnung für den Differentialquotienten
der Funktion y = fix) ist und erklärt sich aus der obigen Darlegung.
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