Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 51 
äich bewegt; 
-m 
b, so ist der 
igkeiten, mit 
cke in ihren 
fstellen: Der 
teile x ist die 
. dieser Stelle 
¡er Geschwin 
des Ordinate 
natensystem; 
a, ß) stetig 
ssen OP = x 
tsprechenden 
die Ordina- 
1' = f{x-\-h) 
kante, deren 
;el QMS -= cp 
dann ist 
tg cp. 
Grenzlage; diese Grenzlage MT nennt man die berührende Ge 
rade oder die Tangente an die Kurve im Punkte M- wird ihre 
Richtung durch den Winkel QMT = a bestimmt, so ist 
lim №.+ *)~<W- t g K . 
i — _l_ n h 
/¿ = + 0 
1st also y = f(x) die auf ein rechtwinkliges Koordinaten 
system bezogene Gleichung einer Kurve, so hat der zu einem 
Werte x gehörige Differentialquotient fix) die Bedeutung der 
trigonometrischen Tangente jenes Winkels, welchen die Tangente 
an die Kurve in dem zur Abszisse x gehörigen Punkte mit der 
positiven Richtung der Äbszissenachse einschließt.*) 
Die Existenz eines vollständigen Differentialquotienten an 
der Stelle x oder, was dasselbe bedeutet, die Übereinstimmung 
des vorwärts genommenen Differentialquotienten mit dem rück 
wärts genommenen hat die geometrische Bedeutung, daß sich 
die Sekanten, welche die Kurve rechts von M schneiden, der 
selben Grenzlage nähern wie die links von M schneidenden, 
daß also die Kurve im Punkte M nur eine Tangente besitzt. 
Auf die eben ausgeführte Betrachtung gründet sich die Aus 
sage, eine Tangente habe mit der Kurve zwei vereinigte Punkte, 
welche zusammen den Berührungspunkt ausmachen, gemein. 
23. Begriff des Differentials. Der begriffliche Inhalt 
der Gleichung 
lim f(* + »)-№D 
h -rr- -4- O h 
f\ x ), 
ich M' längs 
reht sich um 
tient konver- 
, ist gleich- 
e sich einer 
ei Begründung 
n Philosophiae 
"orstellung des 
i Fluenten und 
Bsimalrecbnung 
ntialquotienten 
gen Darlegung. 
welche den Differentialquotienten von fix) an der Stelle x 
definiert, ist der, daß die Differenz 
durch hinreichende Einschränkung von h unter einen beliebig 
kleinen Betrag gebracht werden kann; bezeichnet man hier- 
*) Das Problem der Tangenteubestimmung an eine ebene Kurve 
bildete bei Leibniz den Ausgangspunkt für die Erfindung der Diffe 
rentialrechnung (erste Publikation 1684 in den Leipziger Acta erudito- 
rum\ der Titel der kurzen Notiz enthält in seinen ersten Worten: Nova 
methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus . . . den Hinweis 
auf den Grundgedanken), der er auch den Namen gegeben. 
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