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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Mg. 7. 
Die Ergebnisse erlangen anschauliche Bedeutung, wenn 
man y = f{x) als Gleichung einer Kurve (Fig. 7) auffaßt; die 
selbe Kurve ist auch durch die Gleichung x = tp(y) dargestellt 
und der Unterschied beider Darstellungen 
liegt lediglich darin, daß das erstemal x, 
das zweitemal y als die unabhängige 
Veränderliche aufgefaßt wird*). Der 
Diiferentialquotient D x f{x) ist die tri 
gonometrische Tangente des Winkels a, 
welchen die Tangente MT mit der posi 
tiven Richtung der Abszissenachse bildet, 
D y cp(y) die trigonometrische Tangente des Winkels h, welchen 
dieselbe Tangente mit der positiven Richtung der Ordinaten- 
achse einschließt, und da a + & = so ist tg a • tg & = 1; 
dies also ist der geometrische Inhalt der Formel (12). Wird 
in einem Punkte, wie E, J) x f(cc) = 0, so ist dort die Tangente 
parallel zur Abszissenachse, also normal zur Ordinatenachse, 
folglich J) y cp{y) = oq an dieser Stelle; und wird, wie in F, 
D x f(x) = oo, so ist die Tangente normal zur Abszissenachse, 
also parallel zur Ordinatenachse, daher D y y{y) = 0 an dieser 
Stelle. 
Wendet man die Formel (12) auf den Fall y = x m , 
i 
x = y rn an, wo unter m eine positive ganze Zahl, unter x m 
der positive reelle Wert von yx verstanden wird und x auf 
positive Werte beschränkt bleiben muß, wenn m eine gerade 
Zahl ist, so findet sich mit Benutzung von (8) nach Formel (12) 
i 
I)x m • my m ~ 1 = 1, 
woraus 
JDx m = 
my 
1 
m— 1 
1 1 
- = —x m 
1 m 
*) Will man bei der umgekehrten Funktion x — (p{y) die unab 
hängige Variable wieder x, die abhängige y nennen und sie hiernach 
in demselben Koordinatensystem darstellen, so hat man die Bildkurve 
EF an der Halbierungslinie des Winkels XOF zu spiegeln; die neue 
Kurve gehört zur Gleichung y — cp (x).