euer Stellen, 
efmiert sind, 
-, für cotg x 
e und nega- 
(6), (7) auf 
1 
nx 
x = пл bei 
Die Um- 
endlich viel- 
ch mit der 
Arguments, 
ist y einer 
dargestellt, 
euten kann; 
m x unend- 
, wenn eine 
len können, 
■t aus dem 
ung immer 
während y 
sich sin y 
monotone, 
el definiert 
heißen soll, 
r Lösungen 
Zweiter Abschnitt, Differentiation von Funktionen einer Variablen. 71 
von ж = sin у zu verstehen ist. Weil sin у = sin (я — у) ist, 
so ist 
2пя + arc sin x 
(2n -f 1)tc — arc sin x. 
Der Differentialquotient der neuen Funktion ergibt sich 
nach 27, indem 
D arc sin x • D sin у = 1; 
nach Formel 32 (6) ist aber D sin у = cos у = "j/i — x 2 , die 
Wurzel mit positivem Zeichen genommen, weil cos у in dem 
Intervall j, -f y) positiv ist; demnach hat man endgültig 
(12) D arc sin x = , 1 - • 
v ' ]/l — x* 
2) Es sei x = cos y\ die Gleichung besitzt, wenn x ein 
Wert aus dem Intervall (— 1, + 1) erteilt wird, immer eine 
Lösung in dem Intervall (0, n) 7 weil in diesem Intervall cos у 
eine monotone, und zwar abnehmende Funktion ist; diese 
Lösung definiert die eindeutige Funktion 
(С) ' у = arc cos x, 
(B) 
Arc sin x = 
-I 
den Hauptwert von Arc cos x, während, vermöge der Beziehung 
cos y = cos (— y), 
(D) Arc cos x = 2njc + arc cos x. 
Läßt man in der allgemein gültigen Formel x = sin y 
= cos ^ — y^y das Intervall y > + y) durchlaufen, so be 
wegt sich y — V au f ^ em Intervall {n, 0); infolgedessen be 
steht zwischen den Hauptwerten arc sin x und arc cos x die 
Beziehung 
, Tt 
arc sin x -f- arc cos x — —, 
aus welcher arc cos x = — — arc sin# und auf Grund von (12) 
und 24 (2) 
(13) 
folgt. 
I) arc cos x = , 
|/l — X 2