PAR DES CHANGEMENTS APPROPRIÉS DE VARIABLES. 
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appelant f la «■ 
elle constante etè 
défini par l'éqo- 
l’expression (~r a) désignant, à volonté, soit le développement 
dx 2 
-2Ï i/â- +a? , d 1 “ en sera ‘ l carr ® s * ~y~ T exprimait une quantité, 
dx 
soit la répétition de l’opération indiquée par — — a, c’est-à-dire (vu 
la lettre y qui suit) l’expression ^— aj ^^ , qui signifie 
qu’il faut prendre la dérivée en x de la fonction —ay et en re 
trancher le produit de a par celte même fonction. En effet, cette ex 
pression revient au développement trinôme précédent, par suite de ce 
fait que le terme — %y a son coefficient a constant et ne donne lieu 
dans la différentiation à aucun dédoublement; en sorte que cette opé 
ration s’y indique à la manière de la multiplication algébrique d’une 
fraction variable — par — a y, dont Je produit serait — a 
ffy. 
dx 
dy 
Comme nous venons de voir que l’expression -j- —a y était fortsim- 
plifiée par la substitution, à y, de la nouvelle variable q obtenue en 
posant y — rje ax , introduisons celle-ci. La dérivée de 'qe* x sera 
c llL yt-x _[_ erry**, et il viendra, pour son excédent sur a y, e* x . Celte 
expression est analogue à celle, T ( e ax , d'où l’on est parti, et, en lui ap 
pliquant l'opération Indiquée par le nouveau facteur symbolique 
— a, elle donne de même e Cix . La seconde équation (43), di 
visée pare**, puis par [L-, devient donc 
(44) 
— ß 2 ?l = o ou bien 
J. *21-1-,= 
ß* dx 2 — 1 
o; 
et il suffit enfin de prendre pour nouvelle variable indépendante £ le 
produit $x, c’est-à-dire de poser 
x — 
P' 
d’où 
d_ 
dx 
d 
pour la ramener à la forme, extrêmement simple, 
= o. Donc 
la question proposée revient à chercher les fonctions y) de ç qui éga 
lent en valeur absolue leur dérivée seconde, en ayant signe contraire 
ou même signe suivant qu’il s’agit de prendre, dans (43), le terme ±^-y 
avec le signe supérieur ou avec le signe inférieur —. On voit im 
médiatement que, dans le premier cas, les fonctions q = cos£ = cos[3.r