RÉDUCTION, PAR UN CHANGEMENT DE VARIABLES,
et 7) = sin^ = sin$x satisferont à l’équation (44)> et, par suite, les ex
pressions y— e^Çcosfix ou sin px), à l’équation proposée (43) ; tandis
que, clans le second cas, les solutions, analogues aux précédentes,
r) = cosh| ou sinh£, y = c“*(coshpa? ou sinhp#), et la solution en
core plus simple Y) = 6’, / = e* x efi x = e ia+ P )x , s’offrent de même au
premier coup d’œil. Et l’on peut d’ailleurs y prendre à volonté la
constante ¡3, définie uniquement comme racine carrée de la quantité
positive donnée ¡3 2 , avec le signe -+- ou le signe — ; ce qui ne change
rien, du moins en valeur absolue, à ces expressions de y où entre soit
un sinus, soit un cosinus, naturels ou hyperboliques ; mais ce qui a plus
d’importance pour la dernière expression y = e (a+ P );r , qui donne alors
les deux exponentielles distinctes y = e (ct± P )x .
En résumé, le changement effectué des variables, en ramenant
l’équation (43) à la forme élémentaire Y) / '=rqzY), nous a fait connaître
immédiatement, pour cette équation (43) : i° les deux solutions
y — e ax (cos $ x ou sin^a?),
quand le dernier terme ± ¡3 2 / est pris avec le signe supérieur +, et,
2°, à volonté, les deux solutions
y = e* x (coshpa? ou sinh[3#), ouïes deux, y = e (a± P ,x ,
quand ce dernier terme ± ¡3 2 / est pris, au contraire, avec le signe in
férieur —. Il appartient au Calcul intégral de montrer que l’expres
sion générale demandée de / s’obtient en faisant, dans chaque cas, la
somme des deux solutions ou expressions particulières ainsi trouvées,
après les avoir multipliées respectivement par deux constantes arbi
traires C, Cj.
Enfin, comme troisième exemple, supposons la fonction y de x
astreinte à vérifier l’équation
(O) (,-ÿ)-(2A-flg)=(,±^)r.
qui est précisément celle du problème de la charge roulante auquel il
a été fait allusion à la fin de l’avant-dernière Leçon (p. 79) : A, /, k
y sont trois constantes positives et x j varie de — / à /. J’ai reconnu
qu’il convenait de prendre pour variable indépendante % le nombre
dont la tangente hyperbolique égale le rapport y, nombre croissant
de —00 à 00 pendant que ce rapport grandit de —1 à 1, et, pour
fonction y), le produit de ~ par coshç. Posons donc : d’une part,
(46) a? = Z taûgh ? ; d’où æ' =—7—-r
cosh 2 £
d _ cosh 2 £ d _
dx l d\ ’