C)0* VARIAT. DE DENSITÉ d’UN FLUIDE, EVAL. RAR UN CIIANG. DE VARIABLES.
(a;, y, z), les trois vitesses du fluide suivant les axes et constituent
trois certaines fonctions de ç, r t , Ç, t ou de oc, y, z, t : on les désigne,
pour abréger, par u, v, w, et Ton démontre, par exemple, en appe
lant p la densité de la particule située actuellement en {oc, y, z), que
la dérivée de—logp, prise par rapport au temps en suivant cette
particule ou sans que \, r ( , Ç varient, a pour valeur
(19)
-4-
dw
~dz'
Proposons-nous de voir ce que devient cette valeur quand on l'exprime
en fonction de %, 7), t. L’emploi des formules (18) la change d’abord
en
r
u/K
du
d K
du d K
du d K
dv
K
7 dx
_ d df
dP 1
Cf ^
7 dx
d -T-
dr t
dr. , dx
d di
dZ , dy
’ d d\
dk
désignent les trois dérivées
d{x, y, z)
prises sans
Or, comme u, v, w ^ .
faire varier \, tq, t, la quantité entre crochets est la somme des pro
duits obtenus en multipliant chaque dérivée partielle première du
déterminant K, relative à l’un quelconque des neuf éléments dont il
dépend, par la dérivée même, en t, de cet élément; ou, autrement
dit, elle est la dérivée complète de K par rapport au temps, obtenue
sans faire varier \, r t , t. Ainsi, l’expression (19) devient simplement
p ou ^ , dans le système de variables \, r,, t, et, comme elle
exprime la valeur de la dérivée — -• considérée dans le même sys
tème de variables, on voit que la fonction logK h-logp, ou log(Kp), prise
à diverses époques t, mais pour la même particule primitivement située
en (£, 7), Ç), a sa dérivée constamment nulle. Cette fonction est donc
indépendante du temps; de sorte que K et p varient en raison inverse
l’un de l’autre, d’instant en instant. Ainsi, le déterminant K, défini
par (16), représente proportionnellement, aux diverses époques et
pour une même particule, l’inverse de sa densité. On aurait pu recon
naître autrement ce fait; mais il était bon de montrer ici, comme
exemple des simplifications pouvant résulter d’un changement de va
riables, que l’introduction de ç, r,, t à la place de x, y, z réduit l’ex-
, , , ¿/lo^K
pression (19) a —^J— •
La question traitée comportait, comme la plupart des applications
physiques de l’Analyse, quatre variables indépendantes, savoir \, t], t, t
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