02* EXPRESSION DU PARAMÈTRE EN COORDONNEES POLAIRES, DANS LE PLAN. 
Ces remarques s’appliqueront évidemment toutes les fois que l'on 
changera une partie seulement des variables d’une question. 
69*. _ Expressions diverses du paramètre différentiel du second ordre 
d’une fonction de point. 
Comme seconde application de la même théorie, voyons encore ce 
que devient, en coordonnées polaires, l’expression du paramètre dif 
férentiel du second ordre A 2 d’une fonction de point. 
Commençons par le cas d’un espace plan, que nous supposerons, 
pour fixer les idées, horizontal. Un point quelconque, dont x et y dé 
signeront les coordonnées ordinaires rectangles, aura pour coordon 
nées polaires, d’une part, l’angle 6, dit angle polaire ou azimut, et 
variable de — tt à tt ou de zéro à 2ti, que fait avec l'axe des x positifs 
(en tournant dans le sens de cet axe vers celui des y positifs) le rayon 
vecteur r — x*-+-y' 1 mené de l’origine à ce point {x, y), d’autre 
part, la longueur même, r, du rayon vecteur. Alors les formules 
(i3), où £, rj deviennent r et 6, se réduisent, comme on sait, à 
¿r = r cosô, jk = z’ sin 6 ; 
et les dérivées en r et en 0 de x et dey, au nombre de quatre seulement, 
sont cosO, — /’sinO pour ¿r, et sinO, /’cosO pour y. Le déterminant R, 
réduit ici à ~ , égale donc r(cos 2 0 -+- sin 2 0), ou simple- 
dr c/9 dr c/9 & v n 1 
ment r, et les dérivées de K par rapport à ses deux éléments -rf‘ X ^ 
1 ¿/(r, 9) 
sont , —~i c’est-à-dire rcosO, —sin9, tandis que ses dérivées 
dy dx dx , ... 
sont ¡¡r et T j c est-a-dxre r smi 
d{r, 9) d9 dr 
par rapport aux éléments 
et cos9. Les formules symboliques (18) deviennent donc 
(20) 
d_ 
dx 
— cos 9 
d_ 
dr 
sin 9 d 
~7~ db’ 
d . d cos9 d 
On les aurait aussi obtenues, un peu plus simplement même, en éva 
luant les dérivées de r et 9 en x ou en y par la différentiation des 
équations de transformation r 2 — x 2 -+- y- et tang9 — — , déduites de 
J ° x 
celles qu’on a adoptées x = r cos 9, y — r sin 9, et en substituant en 
suite, dans les résultats, à x et à y, les valeurs rcos9, /• sin9. 
Par suite, si F désigne la fonction de point dont on veut prendre