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ET EN COORDONNÉES SEMI-POLAIRES, DANS L’ESPACE.
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r la différentiation t
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et en substituant«-
nient on «ut preadri
. d' 1 d 1 .
le paramétré A 2 z= -t- ^ ? on trouve d abord
d 2 F / „ d sin 0 ¿1?
d^ = i cos6 Â--— rfô
d 2 F sinO d
cosO —
dr r
e/0
r)
- cos 2 0 —— ( cos 0
dr 2
— cosO sinO
e/0
d / 1 e/F
e/F
dr
dr \ r e/ô
sinO d
r' 1 £¿0
-sr I sinO
e/F
f/0
et, au moyen de la seconde formule (20), une expression analogue
dî F . ,
pour• En les ajoutant après avoir effectué les différentiations,
indiquées par rapport à 0, de produits entre parenthèses, il vient de
suite, vu la relation cos 2 ô -t- sin 2 0 = 1,
„ _ e/ 2 F 1 d F 1 d 2 F 1 e/ / e/F\ 1 e/ 2 F
21 2 dr 2 r dr " + " r 2 e/0 2 r dr \ dr ) ‘ r 2 f/ô 2 ’
ce qui peut aussi s’écrire, en posant finalement logf — p, ou r — e?,
, , , d dr d - d d
et observant nu il en resuite -7- — -,—— — e? = r -7->
1 do dp dr dr dr
Pour avoir A 2 F dans le cas de trois variables oc, y, z, il suffît évi-
d 2 F
demment d’ajouter à ces expressions le terme si l’on veut
adopter ce qu’on appelle des coordonnées cylindriques ou semi-po
laires comprenant, avec l’ordonnée normale z abaissée du point pro
posé {oc, y, z) sur le plan des ocy, le rayon vecteur r et l’azimut 0 du
pied {x, y) de cette ordonnée; car les dérivées successives de F en ¿r
et en y seront encore prises en cheminant dans un plan où r et 0 chan
geront seuls, et changeront ou même se comporteront exactement
comme s’il était le plan des coordonnées polaires r, 0, vu l’égalité des
valeurs de r et de 0 aux deux extrémités de toute ordonnée z. Le se
cond membre de (21) donne donc alors
(23)
¿2 F e/ 2 F y dF I d 2 F
AaF " d?ï + dz 2 ^ r dr + r 2 f/0 2 ■
Dans cette expression de A 2 F, le dernier terme contient une dérivée
prise par rapport à 0, c’est-à-dire sans que~ et/ - changent, ou le long
d’une circonférence horizontale ayant son centre sur l’axe des^, tandis
