94* COORDONNÉES POLAIRES DANS L’ESPACE, OU COORDONNEES SPHERIQUES;
que les trois autres termes contiennent des dérivées en r ou en s,
prises sans que 0 change, c'est-à-dire dans le plan de 1 axe des z et du
rayon vecteur horizontal
Cela posé, adoptons dans ce plan, pour nouvelles variables, au lieu
de l'ordonnée z et du rayon vecteur horizontal/- (qui est une abscisse
perpendiculaire), le nouveau rayon vecteur R =\Jr i -\-z i joignant
l'origine au point propose (.3?, y, z), et la hauteur (angulaire), cp, de
ce point au-dessus du plan des xy, c’est-à-dire l’angle, variable entre
_ - e i - , de ce rayon vecteur R avec sa projection horizontale r. 11
2 2 J
viendra /-=:Rcoso, ^ = Rsino, et les formules (20), appliquées à
ces nouvelles données, seront
, d
00 = “ s< p
3R
sin cp d
R do ‘
dz
d_
dR
cos cp d
R do
Alors l’azimut la hauteur cp et le rayon vecteur R —y/^ 2 q- j 2 +
reliés à x, y, z par les formules
x — R coscp cos6, y = R cos cp sin 6, -« = Rsincp,
constitueront ce qu’on appelle des coordonnées polaires ou sphériques.
d2 F d 2 F
Or il est clair que, dans l’expression (28) de A 2 F, la partie
F ¿/2 F
se transformera comme avait fait précédemment la somme ,
cft F 1 é/F 1 cft F
ou qu’elle deviendra ^ ^ -f- ^ ^ , et que, d’autre part, le
1 d¥ 1 ¿/F
terme - -7- ou — —
r dr R coscp dr
1 d¥ sin o d¥ 1 ¿/F
sin cp
R ¿/R R 2 coscp ¿/cp ’ 0U R ¿/R
deviendra, d'après la première (24),
¿/coscp d¥
do
nier terme
1 d‘ 1 ¥
c’est-à-dire
R 2 coscp ¿/cp
I ‘¿/2 F
Enfin, le der-
gardera sa forme; car
r 2 ¿/O 2 7 ~ ^ “ R 2 cos 2 cp ¿/O 2 ’
prendre, comme tout à l’heure, des dérivées de F en 0 sans faire
changer r ni z, ou les obtenir, comme à présent, sans faire changer R
ni cp, c’est identiquement la même chose. On aura donc, après deux
réductions évidentes, pour répondre à la question posée, la formule
(25)
. T , _ d* F 2 d¥ I d f d¥\ I ¿/ 2 F
¿/R 2 + R ¿/R ‘ R 2 coscp ¿/cp \ C ° S ^ ¿/çp J + R 2 cos 2 cp ¿/0 2
1 ¿/ 2 RF 1 [ d f d¥ \ d* F1
= R ■SRÎ-- H RÎ^L C0ST ^( C0S ' ? dï) + l ï J’
