96* DES FONCTIONS DE POINT EXPRIMÉES EN COORDONNÉES RECTILIGNES :
Cette expression de A 2 F était évidente dans le cas m~\, et elle se
trouve, dans les deux autres cas m=z 2, m = 3, bien d’accord avec
les précédentes (21) et (25) où s’annulent maintenant les dérivées
de F en 6 et cp.
70*. — Des fonctions de point rapportées à divers systèmes
de coordonnées rectilignes.
Les formules générales de transformation (18), pour les dérivées
partielles d’une fonction u, deviennent très simples quand les va
riables cc, y, z sont des coordonnées rectilignes, qu’on veut remplacer
par d’autres également rectilignes \, r h t. On peut alors admettre que
les nouveaux axes des ij, r h Z, soient menés à partir de la même ori
gine O que ceux des cc, y, z; car, par exemple, la dérivée^, pour
un point donné M(;, 7), C), s’obtient en marchant infiniment peu, à
partir de M, le long d’un chemin où £ croisse de de, mais où tq, C ne
varient pas, c’est-à-dire en menant la droite infiniment petite Mn = d!e
parallèle à O £ et de même sens, puis en considérant l’accroissement
de la fonction le long de M/i et le divisant par de. Cette dérivée par
tielle reste donc la même, en M, tant qu’on ne change pas l’'orienta
tion de Taxe des e, où que soit transportée l’origine.
Cela posé, et les origines des deux systèmes d’axes étant supposées
coïncider, on sait que les coordon
nées cc, y, z, ou Ê, 7), Ç, d’un point
M, sont représentées en grandeur et
en direction par les côtés, OK = cc,
KL =y, LM = z, ou ON = £,
NP=ti, PM = (, de deux lignes
brisées OKLM, ONPM, allant de
l’origine au point M et formées de
chemins parallèles aux axes respec
tifs des ce,y, z ou des \, r h Ç. Et l’on
sait également que, si A, B, C dési
gnent les cosinus des angles faits
par les trois axes O cc, O y, Oz avec une droite quelconque, a, ¡3, y, les
cosinus des angles de la même droite avec 0?, Or 1; OC, les deux pro
jections totales, sur cette droite quelconque, des chemins OKLM
et ONPM, seront deux expressions différentes, Acc By + Oz et
a; -+- ¡3t) -+- yC, de la projection, sur la même droite, du rayon OM = r
qui joint l’origine au point M. On pourra donc poser
Fig. i5.
(29)
A x B y ■+- C z = —t— P'q —t- y C î
