98* ANALOGIE DES FORMEL. DE TRANSE., POUR LES DERIV. ET POUR LES COORD., 
suite de la rectangularité de OS, Otj, (H, les trois groupes de cosinus 
a, aab, b', b"; c, c', c" vérifient respectivement les relations 
(3o) aP- -+- a' 2 -1- à" 2 — i, 6 2 -+- ô' 2 -+- b 2 = i, c--t-c -c 2 = i % , 
ce qui ne laisse d'arbitraires que deux cosinus sur trois dans chaque 
groupe ou pour chacun des anciens axes Ox, Oy, Oz. Les expressions 
de T), Ç seront ainsi 
(3t) ’q = ax-v-by-\-c z, r\ = a!xb'y-k-c'z, Ç — a" x -f- b y -+- c" z. 
, . , d(£, T), Ç) , i , . , 
Par suite, les dérivées constantes -7— égalent précisément les 
d\X, y 1 z ) 
neuf cosinus a, a', a", b, . .., c"; et la relation (i4) ou ses ana 
logues, rendues symboliques par la suppression de la lettre u, de 
viennent 
(3a) 
d 
d{x, y, z) 
(a, b, o) !+(«'. y, c')Î 
{à',b", c") 
d_ 
dÇ 
On aurait trouvé plus intuitivement ces formules de transforma 
tion, en cherchant, par exemple, la dérivée de la fonction de point u 
le long du chemin MM'—dx parallèle à Ox, dérivée qui est bien ce 
qu’on appelle puisque y et z ne varient pas le long de MM'. A 
cet effet, on mène (p. 96*), de M à M', la ligne brisée M/i/iM', 
dont les côtés M n, np, p M'sont respectivement parallèles aux axes 
des T], Ç. Ces côtés expriment, comme on sait, les accroissements 
positifs ou négatifs de,, dt\, dt, de S, tj, Ç le long de MM'; en sorte que 
la différentielle de u correspondante, qu'on peut écrire 
du 
dï 
„ du 
+ _ dfl + 
du 
dt, 
dï, 
donne, en divisant par dx ou MM', 
du _ M n du np du p M' du 
dx = MM 7 d\ + MM' d^ + MM 7 dÇ ' 
Or les trois droites M/i, np, pM' sont bien, à cause de leur rectan 
gularité mutuelle, des projections de MM'; et leurs rapports à MM' 
égalent par conséquent les trois cosinus a, a', a!' de leurs angles avec 
cette droite. 
Gela posé, observons que, si les axes rectangulaires étaient, non 
plus ceux des £, t], Ç, mais ceux des x, y, z, il faudrait, dans les for 
mules (3i), d’une part, échanger entre eux x, y, z et \, 7), Ç, d’autre 
part, remplacer a, b, c par les cosinus a, a', a!' du nouvel axe rec-