100* ANALOGIE DES FORMEL. DE TRANSE. POUR LES DÉRIV. ET POUR LES COORD., 
D’où il suit que l’expression en ^ transformée aura mêmes 
coefficients que le polynôme algébrique transformé en £, r„ Ç, e t 
présentera, par conséquent, les mêmes réductions que lui, ou pren 
dra la forme la plus simple possible pour des changements d’axes 
impliquant de part et d’autre les mêmes valeurs des cosinus a, b, 
c, . .., c", mais toujours à la multiple condition, bien entendu, que, 
d’abord, les relations (3o) et (33) soient vérifiées, et que, de plus, les 
coordonnées £, v¡, K, ou les coordonnées x, y, z, soient rectangulaires, 
suivant qu’il s’agit de l’expression différentielle en -j-—— ou du 
1 a\x, y, z) 
simple polynôme en x., y, z. 
Le plus important des cas considérés ici, dans lesquels les formules 
(3a) et (3a bis) contiennent les neuf mêmes cosinus, est celui où l’on 
n’emploie que des coordonnées rectangulaires, et où, par suite, aux 
relations (3o), conséquences de la rectangularité de Oç, 0r o 0?, se 
joignent celles-ci, 
(34) bc-hb'c'-hb"c”= o, cfl + c'a'+c"a"=o, aba'b'+ a b" — o, 
exprimant alors la nullité des cosinus des trois angles yOz, zOx, 
xOy. Dans ce cas, il n’y a pas seulement identité (quant aux coeffi 
cients) des transformations effectuées par les formules (3a) et de 
celles qui le sont par les formules (3a bis) ; mais, de plus, c’est au 
même espace, aux mêmes systèmes d’axes des x, y, z et des Sj, r u t ) 
que ces deux sortes de transformations s’appliquent. Et, en effet, les 
équations (31), multipliées respectivement par a, a', a", ou par b, b', 
b", ou par c, c', c", puis ajoutées, conduisent bien, eu vertu de (3o) et 
(34), aux valeurs (3a bis) de x, y, z. 
Rappelons que celles-ci, transportées à leur tour dans les relations 
(31), et devant y satisfaire quels que soient £, r¡, l, donnent les for 
mules connues, inverses de (3o) et (34), 
«2 2 +C 2 =1} a' 2 + 6'2 +c '2 =I> «"S + i'í + c'2^!, 
a! a!’ ■+• b' b' -h c' c" ~o, a" a -t- b" b ■+- c" c — o, aa' 4- b b' -+- cc — o. 
Supposons, par exemple, F étant une fonction donnée de trois coor 
données rectangulaires x, y, z, qu’on demande ce que deviennent les 
deux expressions