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QUAND LES DEUX SYSTÈMES D’AXES SONT A LA FOIS RECTANGULAIRES. 101* 
ment rectangles. Dispensons-nous d’écrire la lettre F, et ces deux 
expressions A 2 F, A 2 F conduiront à la somme symbolique 
(36 bis) 
d 2 ^ d 2 d 2 
dx 2 ' dy 2 ' + " dz 2 ’ 
dont les termes signifieront, dans un cas, des produits (carrés) de dé 
rivées premières et, dans l’autre, des dérivées secondes. D’après (82) 
et (82 bis), cette somme symbolique se transformera en -, ■ ^ , 
«(?. *1, O 
dans les deux cas, comme le fait en \, y), Ç le polynôme x % 4- r 2 + z 2 , 
qui, représentant le carré de la distance du point {x, y, z) à l’origine, 
doit évidemment devenir £ 2 4-t) 2 4-Ç 2 . Et, en effet, les trois relations 
(82 bis) le changent en celui-ci 
(a\ -h a 7) 4- «"0 2 4-(6£ 4- b’r t 4- b“Ç) 2 -+- (c|j 4- c'q 4- c"Q 2 
qui, par l’effectuation des calculs et la mise en compte des conditions 
(35), se réduit bien à ç 2 4-t, 2 4-Ç 2 . Donc l’expression (36 bis) de 
viendra 4- 4- et les deux formules (36) seront alors 
(3 7 ) 
A 2 F = 
dF 2 
d\ 2 
d F 2 dF 2 
dq 2 + 1ÜX 2 ’ 
d 2 F dTF 
dq 2 + dX 2 
On pouvait, du reste, le prévoir en se souvenant que les expressions de 
A 2 F et de A 2 F ont, en chaque point de l’espace, une valeur dépendant 
non des axes choisis, mais uniquement de la manière dont varie la 
fonction F dans le voisinage. 
72*. — De l’utilité de cette analogie pour simplifier l’équation 
de certains phénomènes naturels. 
Voici un autre exemple, propre à montrer combien peut être pré 
cieuse l’analogie des formules (82) et (82 bis), qui en entraîne une 
semblable entre les transformées de polynômes algébriques en x, y, z 
et de polynômes symboliques en ~~ , 
CtOC Ciy CtZ 
Soit le sextinôme, à coefficients constants, 
(38) A.r 2 4- B y 2 4 G; 2 42 D yz 4- 2 Ezx 4- 2 F xy, 
qui, égalé, par exemple, à 1, représenterait en coordonnées rectangles 
x, y, z unesur face du second degré rapportée à son centre. On sait 
qu’il existe toujours un système d’axes rectangulaires des tq, t, tel, 
que ce sextinôme, exprimé en fonction de £, r l} X, se réduit à un tri-