Io4* EXEMPLE D’UN CHANGEM. SIMULTANÉ DES VARIABLES ET DES FONCTIONS, 
menée en un point quelconque {x,y, à la surface passant par ce point, 
ces trois fonctions u, p, ip de x, y, z donneraient, pour la somme de 
leurs trois dérivées partielles respectives en x, y, z, une expression 
(45) 
du dv dw 
dx dy dz 
ayant sa valeur en chaque endroit indépendante des axes choisis, et 
dont nous avons trouvé la signification au numéro suivant 61*. Sup 
posons ici que les droites ainsi menées à partir des divers points 
{x, r, z) de l’espace continuent à avoir une direction déterminée et 
graduellement variable d’un point à l’autre, c’est-à-dire trois cosinus 
directeurs u, p, w fonctions continues de x, y, z, mais sans être 
astreintes à aucune autre condition, comme serait celle de normalité 
à une famille de surfaces; et proposons-nous de reconnaître si la 
somme (45) continuera néanmoins à présenter, en un point donné 
(x, y, z), une valeur constante quels que soient les trois axes rectan 
gulaires choisis, ou, ce qui revient au même, si celte somme (45) re 
lative au système des x, y, z, évaluée dans tout autre système de 
coordonnées rectangles ç, iq, Ç, dont les axes feront avec la droite en 
question émanée de (x, y, z) ou de (£, tq, Ç) des angles ayant certains 
cosinus u : , Pj, pPj, s’exprimera simplement par 
(46) 
diiy dv\ dw\ 
d\ dr\ dZ, 
A cet effet, imaginons que l’on donne, à cette droite issue du point 
(x, y, z) ou (£, -r), Ç), une longueur égale à i, et qu’on la projette sur 
deux systèmes d’axes menés, à partir de {x, y, z), parallèlement à 
ceux des ¿c, y, z et des £, tq, t. Les coordonnées de sa seconde extré 
mité par rapport à ces deux systèmes spéciaux d’axes se réduiront 
évidemment aux cosinus, u, p, w et u A , p t , wq, des angles de projection ; 
d’où il suit que ces cosinus seront en réalité des coordonnées rectan 
gulaires, auxquelles s’appliqueront, par exemple, les formules (3abis), 
où x, y, z, £, 7), Ç deviendront respectivement u, p, pp, iq, p t , «v 
Ainsi, les anciennes fonctions «, p, ip s’exprimeront, au moyen des 
nouvelles u l} p l5 «q, par les trois formules 
(47) v, «0 = («, <5, c)u t -i-(a', b', c')p 1 -t-(a", b", c")«q. 
Telles sont les valeurs qu'il faudra porter dans (45) au lieu de u, p, 
en même temps qu’on y substituera k ~ les seconds mem- 
ax ay dz 
bres des formules symboliques toutes pareilles (3a). Et l’expression