EXEMPLE D’UN CHANGEMENT DE VARIABLES ET DE FONCTIONS, 
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sont spécialement utiles à considérer, parce que, du moins dans le cas 
de déplacements très petits, elles définissent complètement la déforma 
tion éprouvée par la particule qui comprend, dans sa situation primi 
tive, le point {x, y, z), et qu’on peut appeler, par abréviation, la par 
ticule {x, y, z). Les trois premières, qu’on exprime souvent, sous une 
forme plus concise, par èy, sont dites les dilatations de la par 
ticule (ou dilatations linéaires) suivant les axes respectifs des x,y, z\ 
et leur somme (45), indépendante des axes choisis, s'appelle la dila 
tation cubique de la particule. Quant aux trois dernières (5i), qu’on 
désigne souvent, pour abréger, par çj yz , $ zx , $ xy , elles sont dites les 
trois glissements de la particule relatifs aux axes des x, y, z. Jointes 
aux trois dilatations ? x , ? y , 2i z , elles constituent ce qu’on appelle ses six 
déformations élémentaires dans le système des coordonnées x, y, z. 
Je ne pourrais, sans trop sortir du cadre de ce Cours, expliquer ces 
diverses dénominations ( 1 ). 
(') Il me paraît cependant utile de montrer en quelques mots que les six ex 
pressions (5i) caractérisent bien la déformation de la particule {x,y, z) du corps. 
Les circonstances de forme de celle-ci dépendent évidemment des distances mu 
tuelles de ses divers points matériels, et seront, par conséquent, déterminées, si 
l’on sait de combien y a crû la distance de deux points quelconques, définis par 
leurs coordonnées primitives. Admettons que la droite joignant le premier de ces 
points au second, droite qu’on peut se représenter comme un élément de fibre 
du corps, eût, dans l’état primitif, une longueur donnée ds, et trois cosinus di 
recteurs également donnés a, b, c, ou que, par conséquent, les coordonnées pri 
mitives du second point dépassassent celles du premier des trois quantités 
dx — ads, dy — bds, dz — cds. Les déplacements u, v, w, fonction des coordon 
nées primitives x, y, z, survenant ensuite, seront évidemment, pour le second 
point, plus grands que ponr le premier de leurs différentielles le long de ds, 
{du, dv, dw) = 
expressions dans lesquelles le peu d’étendue de la particule permet de prendre les 
dérivées de u, v, w, d’où que parte l’élément ds, pour les mêmes valeurs x, y, z 
des variables. Et l’écart ou l’espacement des deux points matériels deviendra, 
suivant les trois axes, dx y- du, dy y- dv, dz y- dw, vu qu’il croîtra respective 
ment des différences des déplacements éprouvés suivant les mêmes axes par les 
deux points. On suppose, d’ailleurs, ces différences du, dv, dw très petites en 
comparaison des valeurs primitives dx, dy, dz des trois projections de l’écart, 
car c’est justement en cela que consiste Hypothèse de la petitesse des déplace 
ments. Le carré de la distance des deux points, qui était d’abord dx- + dy 2 + dz 2 
ou ds 2 , sera donc 
{dx + du)'y- {dy-h dv) 2 y-{dz y- dw) 2 . 
On voit, en développant, puis négligeant les termes du 2 , dv 2 , dw\ dont l’ordre