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DANS LA THEORIE DES PETITES DEFORMATIONS DES CORPS. 107* 
Observons seulement que les formules (4y) et (82) donnent, pour 
les transformées de ces expressions (5i) dans un nouveau système de 
coordonnées £, r n t 
(5-2) < 
du f 
dr = (° 
dv 
Tz 
dÎ 
dr. 
t t ft \ dv 
( ciu 1 -t- ci Cj ci tvj ), -j— = etc. 
dy 
dw 
dÿ 
° d\ 
1 d 
b d\ 
, d 
° dr, 
° dl 
b’ 
dr. 
j.. d 
b dt 
y J (¿«1 “f - ^ Cj —t- b (Vj) 
(cr/! -4- c'i’i -+- c" w{), etc. 
En développpanl celles-ci comme il a été fait pour (48), on reconnaît 
que u u Cj, «q n'y figurent que par les six expressions (49); lesquelles 
jouent, dans le nouveau système d'axes, le même rôle que les propo 
sées (5i) dans le premier. C’est ce qu’on aurait pu prévoir. En effet, 
si les fonctions u t , tq, w i de %, r t , t viennent à changer, mais de telle 
manière que les six expressions (49)5 caractéristiques du mode de 
déformation subi par une particule déterminée (£, r i} t), restent les 
mêmes, les six expressions (51 ), qui le définissent avec non moins de 
précision dans le premier système d'axes, ne changeront pas davantage, 
quelles que soient les variations éprouvées individuellement, dans ces 
conditions, par les dérivées comme 
Donc celles-ci ne 
dr 1 dw\ 
TTÎf’ 777“’ ’ 
peuvent entrer dans les seconds membres de (52) que par leurs trois 
sommes respectives y,*, 
de petitesse est le plus élevé, et employant enfin les notations abrégées cl, ç) après 
substitution à du, dv, cbv de leurs valeurs ci-dessus, que ce carré de la distance 
aura grandi de 
2 {dxdu + dy dv + dzdw) = ids{adu -f- bdv -+- cchv) 
= 2 ds- ( c\ r a 2 + t* v b 1 -t- ê. c 2 -+- Ç\ v . bc -h <j, r CCI + ab ). 
Or, si l’on appelle la dilatation linéaire de la fibre considérée ds, c’est-à-dire 
son allongement par unité de longueur ou le très petit rapport de son allonge 
ment effectif à sa longueur primitive ds, cet allongement effectif sera le produit 
ds^ s , et la distance des deux points après la déformation, devenue rfs(i+ <),), 
aura pour carré ds 2 (1 4- 2 ê t ), sauf encore, dans la parenthèse, un terme o|, d’un 
ordre de petitesse supérieur. L’accroissement du carré de la distance étant ainsi 
2ds-l) s , la comparaison de cette expression à la précédente donne 
(Si bis) 3 s = i^a 2 -!- ^¿> 2 -f-1>_c s -t- cj y .bc + cj. r ca 4- $ xy ctb-, 
ce qui montre bien que les nouvelles longueurs de toutes les droites joignant 
deux à deux les points de la particule et, par suite, toutes les circonstances de 
sa forme, ne dépendent des petits déplacements u, v, w éprouvés que par les six 
quantités 3., iV , c,, r