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,22* NATURE ET IMPORTANCE DES FONCTIONS HOMOGÈNES. 
Semblablement à ce qui arrive dans le cas d’une fonction y de x et 
de deux, trois, . . . paramètres, où un pareil nombre de différentia 
tions en x permet d’éliminer ces paramètres et conduit à une équa 
tion différentielle d’ordre supérieur, de même, quand l’expression de 
la fonction donnée de x, y, .. . contient plus d’une fonction arbi 
traire, des différentiations poussées jusqu’aux dérivées du second 
ordre ou du troisième ordre, etc., rendent possible l’élimination de 
ces fonctions arbitraires et la formation de ce qu’on appelle une équa 
tion aux dérivées partielles d'ordre supérieur. 
80*. — Théorème d’Euler sur les fonctions homogènes et autres 
propriétés générales de ces fonctions. 
Prenons comme exemple l’expression générale d'une fonction u, 
homogène et d’un degré entier ou fractionnaire m, de variables 
données x, y, z, en nombre quelconque. On sait qu'une telle fonction 
u est dite homogène du degré m quand son rapport à la puissance 
m ième de l’une des variables, x par exemple, dépend uniquement des 
rapports des autres variables,/, 3, à celle-là ou, en d’autres termes, 
quand le quotient --j- est une certaine fonction, qu’on peut appeler/, 
des rapports - , ~ • On a donc pour l’expression générale proposée de 
u, avec une fonction arbitraire f, la formule 
(0 
x m 
f( 
La différentiation en x, y, z de cette valeur de u introduit linéai 
rement les dérivées partielles premières de f, qui, avec /, donnent 
en tout un nombre d’arbitraires égal seulement au nombre des rela 
tions ainsi obtenues pour évaluer les dérivées partielles /y > 
En joignant à ces relations la proposée (i), on aura donc un système 
d’équations juste suffisant pour permettre d’éliminer les quantités 
arbitraires et mettre, par conséquent, en vue une propriété commune 
a toutes les fonctions homogènes possibles de degré ni. 
Avant de procéder à ce calcul, et, pour en accroître l’intérêt, je 
rappellerai la principale raison de l’importance qu’ont en Géométrie 
et dans les Mathématiques appliquées les fonctions homogènes. Quand 
une loi géométrique ou physique s’exprime algébriquement, la for 
mule générale qui la traduit ne dépend pas des unités de longueur, 
de temps ou de masse choisies. Rien n’empêche donc de prendre, par