DÉRIVÉES PARTIELLES PREMIÈRES DXNE FONCTION HOMOGÈNE. 
13.1 
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exemple, comme mesure des longueurs, l'une, x, des lignes x, y, z, . .. 
considérées dans la question; ce qui fait évidemment acquérir aux 
autres, /, s,... les valeurs respectives ^ ^ . et réduit les rela 
tions existant entre toutes ces lignes à ne plus contenir que les rap 
ports ou ® n ’ avoir P our membres que des fonctions homo 
gènes du degré zéro. Donc les équations exprimant des lois naturelles 
peuvent toujours être présentées de manière que leurs deux membres 
soient des fonctions homogènes du degré zéro par rapport aux diverses 
quantités d’une même espèce qui y figurent. Et si alors, pourchasser, 
par exemple, des dénominateurs, on multiplie ces équations par une 
certaine puissance, x m , de l'une des variables de chaque espèce, les 
deux membres changeront de degré, mais ne cesseront pas d’être ho 
mogènes. C’est dire que toutes les lois de la Géométrie, de la Méca 
nique, de la Physique, etc., se représentent par des équations plus on 
moins complexes, mais homogènes, du moins tant que les unités de 
mesure n’y sont pas spécifiées et qu’on assimile, bien entendu, à des 
variables de forme convenable, les paramètres ou coefficients phy 
siques (exprimant des produits ou des quotients de longueurs, de 
temps ou de masses) dont la valeur numérique change avec les unités 
choisies. 
Pour éliminer f, différentions l’expression (i) de u, soit par rapport 
à x, soit par rapport à y, soit par rapport à z, en observant que, par 
rapport à y et à z, u est une fonction de fonction ( vu que y ou z figu- 
• V Z 
renl seulement dans une des variables ■- , - , de la fonction 
X X 
f} 
tandis 
que, par rapport à x, u est une fonction composée. Les dérivées de —, ^ 
par rapport à x étant 
—y — 
— 5 et leurs dérivées respectives en y 
ou z étant simplement — ? il viendra 
I du , / y z 
l —= m x m 1 f ( - > - 
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x m 
. Æ 
(*) 
(cil 
\ X 
du df 
— = x m ~ x -d- 
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X 
du , df 
= x m ~ x < 
dz r z 
d - 
x 
du 
On remarquera que ces valeurs de r~~’ c ^ v ^ s ^ es P ar x