126* TROPn. DES FONCT. 1IOMOG. ET ENT. DU SEC. DEGRÉ : LOI DE RÉCIPR.
3 et Zi, En d’autres termes, u y désignant ce que devient la fonc
tion u quand on remplace ses variables x,y, z, ... par y 1} z t ,., M
on a
du du du du t dy y du y
Xl ~dx " ! " Jl dy * l dz"''"' ' dxi ' dyi ' dz.
Il suffit évidemment de démontrer ce théorème pour les fonctions
ne comprenant qu’un seul terme; car, lorsqu’une fonction u ou u y se
compose de plusieurs termes, chacun des deux membres de (7) est
visiblement la somme des valeurs qu’il aurait pour les divers termes
pris seuls; et il suffit que ces valeurs partielles soient égales chacune
à chacune dans les deux membres pour qu’on puisse en dire autant
des valeurs totales. Or une fonction monôme du second degré est de
l’une des deux formes u — Ax 1 , u — Ayz, suivant qu’il y figure le
carré d’une des variables ou le produit de deux d’entre elles. Dans le
premier cas, les dérivées partielles premières de u se réduisent à une
seule, 2 Ax par exemple, et le premier membre de (7), devenu 2Axx { ,
est bien symétrique en x et en x x . Dans le second cas, la fonction
u — Ayz a deux dérivées : l’une, A z, en y, l’autre, A y, en .g; et le
premier membre de (7) est l’expression A{y x z z x y), également
symétrique par rapport à y et r l5 z et z y . Le théorème est donc vrai.
Pour donner une idée de ses applications à l’équilibre des corps
élastiques, considérons un tel corps, pris d’abord en repos et à Y état
naturel (c’est-à-dire libre de toute action extérieure), comme l’en
semble d’un nombre prodigieux de points matériels, que je désignerai
respectivement par m, ni 1 , ni",..., rapportés ¿1 un système d’axes
rectangulaires des x, y, z ; et supposons que, par l’application, à ces
divers points, de certaines forces extérieures se faisant équilibre sur
l’ensemble du corps, on leur imprime de petits déplacements, dont
j’appellerai les trois projections, suivant les axes, u, v, m pour le
point m, u', v', w' pour le point m', u", r", sv" pour le point m", ....
Je désignerai d’ailleurs par X, Y, Z les trois composantes, suivant les
axes, de la force extérieure ou déformatrice appliquée au premier
point; et, de même, par X', Y', Z' les composantes pareilles pour le
second point, par X", Y", Z" celles qui seront exercées de même sur le
troisième ; etc. Ces forces se trouveront neutralisées parles composantes
analogues des réactions intérieures qu’auront fait naître les petits dé
placements, composantes qui sont ainsi, respectivement, —X, —J,
— Z sur le premier point, — X', — Y', — Z' sur le second, etc. Or, en
vertu d’une loi physique fondamentale, ces composantes des réactions
intérieures sont des fonctions homogènes du premier degré de tous les
