QUI EN RÉSULTE POUR LES DÉPLAC. INTÉR. D’UN SOLIDE ÉLASTIQUE. 127* 
petits déplacements u, v, (v, u', v', w', ... qui leur ont donné naissance, 
et elles égalent les dérivées partielles respectives d’une même fonction 
homogène et entière du second degré o [dite fonction des forces (')] de 
tous ces déplacements. On a donc, pour résoudre le problème de l’équi- 
♦ libre, c’est-à-dire pour déterminer u, v, w, a', v', . . . quand X, Y, Z, 
X', Y',... sont connus, le système d’équations du premier degré 
v do v do do do 
(8) dfi~ X ’ dv~~~ ’ dw~ Z ’ du'~~ X ’ •••• 
Avec un second système de forces X l5 Y t , Z,, X',, .. ., on aurait de 
nouvelles valeurs w,, Vy, «q, u\, . . . pour les déplacements. Appelons 
ce que deviendrait alors l’expression de o, et les équations (8) 
seront, dans ce second cas, 
(9) 
do 1 _ 
diiy 
do 1 
dv 1 
do y 
dwy 
Z„ 
do y 
du y 
= -X'„ 
Cela posé, la formule (7) appliquée aux fonctions homogènes et 
entières du second degré cp et cp t , où u, v, w, u , v',... et iiy, v i: «q, 
u'y, C p ... ont maintenant le rôle qu’avaient x, y, z, ... dans u et x t , 
Vy, Zyy... dans Uy, donne 
do 
do 
do 
, do 
du 
^ Vi dé 
-hWy -ff 
dw 
do y 
do y 
do y 
, do y 
du y 
V dffy 
dwy 
du. 
ou bien, en introduisant, d’après (8) et (9), les valeurs des forces ex 
térieures X, Y,..., X,, Yj,..., et changeant les signes, 
(10) X«!-H Ytq -h Z«*! -f-X'li', -+- . . . = Xi U-h Y t V -f- Zj W -H X'j u' -v- . ... 
Or la somme des produits des forces X, Y, ... par certains déplace 
ments de mêmes sens iiy, tq,... de leurs points d’application, constitue 
ce qu’on appelle Je travail de ces forces pour ces déplacements. La 
relation (10) exprime donc que, si deux systèmes différents de forces 
se font séparément équilibre sur le corps, chacun d’eux produit le 
même travail total dans les déplacements ou les déformations 
d’équilibre que fait naître l’autre. 
Supposons maintenant que, dans chaque système, les forces exté- 
(’) On la désigne ainsi, pour rappeler que toutes les forces intérieures enjeu 
dans le système considéré de points matériels s’en déduisent par de simples dif 
férentiations. 
f'ffftf if}