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d’une branche infinie de courbe, et SON ASYMPTOTE. j 2 q»
sa dérivée/'. Soient (cr p ,/ 0 ) un point de la courbe très éloigné et
un autre point pris incomparablement plus loin encore, ou tel, que le
rapport de wC 0 à égale nue quantité fort petite z. Comparons entre eux
les accroissements éprouvés par les deux fonctions continues et à dérivée
continue ^^, quand x y passe de la valeur x 0 à la valeur x v Ce
rapport, étant celui de ^ ^ à- — , vaudra le quotient de
r 0 — x 0 ^ par i — ou par i — z, et, d’après le théorème de Cauchy,
il égalera le rapport, y — xy', des dérivées, Xy ~ r , —, de - et de
x- X 2 X
-, pour une certaine valeur x intermédiaire entre x 0 et x v . On
aura donc
Y\
«)
y*—x 0 77 =(y — jy')( i-
Uj J
0,
relation facile à interpréter, car y — xy' est l’ordonnée à l’origine
de la tangente menée à la courbe en {oc, y), c’est-à-dire la distance
séparant l’origine du point où l’axe des y se trouve coupé par cette tan
gente (qui a pour coefficient angulaire y'), et y 0 — x 0 — est,deméme,
Xi
l'ordonnée à l’origine de la droite menée en {x 0 , y 0 ) dans la direction
définie par le coefficient angulaire — , ou parallèlement à la droite
Xy
joignant l’origine au point {x x , y t ).
11 est clair, d’après celle formule (22), que, si l’ordonnée à l’origine
de la tangente tend vers une certaine limite b à mesure que x grandit,
l’ordonnée à l’origine y 0 — x 0 ~ tendra aussi vers b. Et les quotients,
y
- — y' et — — — , de ces deux ordonnées finies, par x et devien-
X J X 0 Xi ’ 1 °’
(Iront infiniment petits; ce qui, donnant, avec une erreur relative de
plus en plus faible, —° = — et y'—'—, montre, d’abord, en faisant
1 x 0 Xi J x
varier.#,, indépendamment de x t , que - tendra vers une certaine li
mite finie, que j’appellerai a, et, ensuite, que y' tendra aussi vers cette
limite a. Donc, d’une part, la tangente, définie complètement par
son coefficient angulaire y' et son ordonnée à l’origine y — ocy', ad
mettra une position limite; et, de même, la droite menée par (#„,y 0 )
dans la direction que définit le coefficient angulaire en admettra
B. — 1. Partie complémentaire.