l3o* RAPPORTS EXISTANT ENTRE LES TANGENTES, TRÈS ÉLOIGNÉES,
une analogue, appelée, comme on sait, l’asymptote à la courbe, qui s’en
approche indéfiniment (car on peut, en construisant cette droite, mobile
le long de la courbe, prendre Xi — oo ou ~ = a, de manière à ne la
déplacer que parallèlement à elle-même, suivant Taxe des/, delà
quantité restreinte, constante pour toute son étendue, dont varie son
ordonnée à l’origine). D’autre part, ces deux positions limites n’en
feront qu’une. Donc, quand la tangente s’approche d’une position
limite, celle-ci est bien l’asymptote, déterminée, de la manière
connue, par son coefficient angulaire et par son ordonnée à l’ori
gine.
Mais supposons, réciproquement, qu'une asymptote à la branche de
courbe existe dans le plan, et appelons a son coefficient angulaire, b
son ordonnée à l’origine. La parallèle qu’on lui mènera par (#„, r„)
aura son ordonnée à l’origine j 0 — ax 0 extrêmement peu différente
de b ; d’où il suit, en divisant par l’abscisse très grande x 0 , que la diffé
rence — — a sera extrêmement petite, ou que le rapport ~ tendra vers
a à mesure que x croîtra. Prenons x t assez grand pour que —diffère
de a incomparablement moins que — > ou pour que la différence
X Q
y 0 — x 0 — se confonde presque avec j 0 — ax 0 et, par conséquent, avec
X\
h. Il est clair, d’après (22), que l’on aura sensiblement y — xy'—b,
équation d’où résultera, en divisant par l’abscisse très grande x,
v'= sensiblement — ou a; c’est-à-dire que la tangente menée à la
J x 1
courbe en (x, y) aura presque la même ordonnée à l’origine et la
même direction que l’asymptote. Ce raisonnement pouvant être répété
avec une infinité de valeurs différentes, de plus en plus grandes, de
x 0 , de x l et, par suite, de x, on voit que l’existence d’une asymptote
entraine bien celle d’une infinité de tangentes dont les positions sur
le plan diffèrent de moins en moins de la sienne.
Il faut donc que l’ordonnée à l'origine de la tangente, y — xy', ne
tende vers aucune limite, mais oscille indéfiniment dans une étendue
sensible, en augmentant et puis diminuant une infinité de fois, pour
que la suite continue des positions de la tangente ne tende pas vers
l’asymptote. Or cela suppose que la dérivée de y — xy', dérivée qui
est y - ' — y' — xy" — — xy", change de signe une infinité de fois, ou
que la dérivée seconde y" n’en change pas moins souvent elle-même.
Un tel fait n’arrivera jamais dans une courbe algébrique; car, d’après
l’expression de y" qu’on a appris à calculer au n° 36 (p. 111), ses