COMPLÉMENT À LA NEUVIEME LEÇON.
SÉRIE DE TAYLOR POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS
VARIABLES; ETC.
96*. — Application de la série de Taylor au calcul le plus approché
possible des dérivées d’une fonction par le moyen de deux ou de
plusieurs valeurs voisines de la fonction.
Comme application de la formule de Taylor dans le cas d’accroisse
ments h très petits, cherchons la meilleure manière d’évaluer approxi
mativement les deux dérivées première et seconde f\x), f"{x) d’une
fonction f{x), au moyen d’une suite de valeurs de f{x) correspon
dant à des valeurs de la variable voisines et équidistantes, comme
x — /г, x, x H- h, x H- 2h, etc.
Et, d’abord, la relation (i3) [p. 15a], si l’on y change x en ^—7
et puis h en 2h, devient
. ... . . ... f(x-hh)—f(x — h)
(•2З) /(a?) = (sensiblement) — — ——;
ce qui montre que l’expression la plus approchée de f'{x) par un
rapport de petites différences s’obtient en divisant par Ax — h non
pas l’accroissement, A J{x) — f[x H- h) — /(¿c), qui distingue de la
valeur actuelle f(x) de la fonction sa valeur suivante f{x h- h), ni la
différence analogue, Af(x — h) = f{x) — f{x — h) de la valeur ac
tuelle à la valeur précédente f{x — h), mais leur demi-somme ou
moyenne arithmétique, exprimée par
f(x-\- h) —/(a? — h)
et dans
laquelle paraissent, à l’exclusion de la valeur actuelle f(x) de la fonc
tion, les deux valeurs précédente et suivante f(x — /1), f{x -+- h).
Quant à la dérivée seconde f"{x), en la regardant comme la déri
vée de f\x), on trouvera par la formule (28), dans laquelle on rem
placerait 2h par h et/par/',
f\x) = (sensiblement)
1
h
ÎM-Î)]