EXPR. APPROCH. DES DERIV. DUNE FONCT. AU MOYEN DE SES DIFFÈRE NC. 133 
Or on neut substituer de même r ^ 
f(x -+- h) — 2/(3?) -+-/( x — h) 
/0 
l f"{x) = (sensiblement) 
(2 4) 
On formerait d’une manière analogue, pour les dérivées d’un ordre 
plus élevé f m {x), f iy {x), etc., des expressions où il n’entrerait évi 
demment pas plus de valeurs de la fonction venant après la valeur ac 
tuelle f{x) que d’autres venant avant. 
Les formules (28), (24), etc., ainsi obtenues, se vérifient d’ailleurs 
en remplaçant, dans leurs seconds membres, f{x ± h), etc. par les 
développements très convergents 
Ces seconds membres deviennent, respectivement, 
f\x)A-^f'\x)+ .... etc. 
Ils expriment donc les dérivées f\x),f'\x), ... avec des erreurs 
comparables seulement à h-, c’est-à-dire du second ordre de petitesse. 
Or, si l’on prenait pour la variable des fonctions ■ ■ ., dans les 
premiers membres de (28), (24), etc., une valeur, x -t- k par exemple, 
autre que celle x qui y figure et qui tient le milieu entre les valeurs 
extrêmes, comme x±h dans (28) et (24), paraissant aux seconds 
membres, les changements de ces premiers membres par le fait de l’ad 
dition de k a x seraient en général du même ordre que A - et, par consé 
quent, du premier ordre pour peu que k fût comparable à h, ou beau 
coup plus grands que les écarts, de l’ordre de /¿ 2 , existant entre les 
seconds membres et les valeurs initiales f{x),f"{x), . . . des premiers. 
C’est bien dire que les seconds membres de (28), (24), etc. représen 
tent incomparablement mieux les fonctions /', f", . . . pour la valeur 
x de la variable que pour toute autre en différant d’une fraction sen 
sible de l’intervalle h. Ainsi, dans l’évaluation des dérivées par des 
rapports de petites différences finies, l’approximation obtenue est 
beaucoup plus grande quand on y utilise un même nombre de 
valeurs de la fonction précédant sa valeur actuelle et de valeurs 
la suivant, que lorsqu’on y emploie ces dernières à l’exclusion des