EXTENSION DE LA FORMULE ET DE LA SERIE DE TAYLOR
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premières, comme induiraient à le faire les notations, parfaite
ment exactes d’ailleurs ci la limite,
f{x -+- dx) —j\x)
dx
f(x-+-‘idx) — i f{x-\-dx) -+-/0)
~ ’ CtC -
98*. — Extension de la série de Taylor aux fonctions de plusieurs
variables.
De la formule de Taylor (10) [p, i/|8], démontrée pour le cas d’une
seule variable x dont les accroissements h sont assez faibles, on déduit
de suite qu’une fonction, f{x, y, z), d’un nombre quelconque de va
riables x, y, z, comporte aussi une expression en série, procédant
suivant les puissances de très petits accroissements positifs ou négatifs
h, k, l reçus par ces variables respectives. Eu effet, l’on peut d’abord,
dans /(Æ + /i,y+ k, z -4- /), regarder/ H- k, z-\- lcomme de simples
constantes et obtenir, par la formule (10), un développement en A 0 ,
h 1 , Jd, A 3 , . . ., avec des coefficients fonction de / + k, z + /; puis
de nouvelles applications de cette formule (10) permettront de déve
lopper à leur tour ces coefficients, suivant les puissances de k, et
ainsi de suite; après quoi il ne restera plus qu’à grouper ensemble les
termes d’un même degré en h, k, L
Ce groupement se trouve tout fait, et l’on arrive, presque sans
calculs, à la formule définitive cherchée de f{x h, y k, z -t- /),
en se représentant les variables de la fonction f\x, y, z) comme
d’abord égales à leurs valeurs primitives données x, y, z, puis aug
mentées d’une manière continue, toutes à la fois, de quantités propor
tionnelles aux accroissements totaux A, k, l également donnés, quan
tités exprimables par ht, kt, It si t désigne leur rapport commun à A,
k, l, et en ordonnant enfin, par la formule de Mac Laurin, la fonction
de t ainsi obtenue, J\x ht, y h- kt, z -t- It), suivant les puissances
du rapport t, égal finalement à i. Appelons, pour abréger, 'f(t) cette
fonction composée /(x -+- ht, y -h kt, z -t- It), qui dépend de t par
l’intermédiaire des fonctions linéaires x -+- ht, y + kt, z + lt-, et la
formule (19) [p. i54], en y remplaçant f par cp, x par t, puis faisant
t — 1, donnera
1 f(x -h h, y -t- k, s + l)
09)
= ?(o)+ 7<f'(o)+ — «p'(o)-H... h \
\ 1 1.2 1.2.3... 1
( /(» =
dfjx) _
dx
/v> = ^ =
X../L, - .... '.. _ : ' . .
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