AUX FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 
converge très rapidement dans le cas d’accroissements h, k, l assez 
faibles, puisque l’ensemble de ses termes d’un degré quelconque est 
très petit de l’ordre indiqué par ce degré et, conséquemment, né 
gligeable en comparaison de tout ensemble, qui ne serait pas identi 
quement nul, de termes précédents d’un même degré (moindre). De 
plus, elle converge bien vers la valeur de /(æ- + A, j + k, z -4- /) ; 
car le reste R„, exprimé par (35), est d’un ordre de petitesse supé 
rieur au n ième , comme ayant dans chacun de ses termes, outre n fac 
teurs h, k, l très petits, un dernier facteur tendant vers zéro avec h, 
k, i, savoir l’accroissement, tel que 
d n f{x -(-6 h, y -4- 0k, z -4- 0 /) d n f{x, y, z) 
d{x-±~$h) n dx n 
d’une dérivée partielle d'ordre n de la fonction f{x, y, z), pour les 
changements 0/1, 0k, 6/ des variables. Ainsi, le reste R„ est une frac 
tion aussi petite qu’on veut de l’ensemble des termes du /d èmc degré, 
pourvu qu’on n’ait pas z> (n) (o) =0. On le reconnaît d’ailleurs, direc 
tement, en comparant, dans R„ et dans cet ensemble, les termes qui 
se correspondent ou qui ont les mêmes facteurs /1, k, l et les mêmes 
coefficients. Après la suppression de tous ces facteurs communs, on 
obtient des rapports, comme celui de 
d n f{x -4- 6 h, y - 1 - 6 k, z -+- 61) d n f(x,y,z) , d n f(x,y,z) 
d(x-\~ühy i dx n dx' 1 1 
ayant pour dénominateurs les diverses dérivées partielles du n ikmc ordre 
def\x, y, z), indépendantes de h, k, /, et, pour numérateurs, leurs ac 
croissements très petits corrélatifs aux accroissements 6h, 0k, 6/ des 
variables : or il est évident que ces rapports deviennent aussi petits 
que l’on veut quand h, k, l tendent vers zéro, pourvu que leurs déno 
minateurs ne soient pas identiquement nuis. 
J'observerai enfin que la formule de Taylor (34) se transformerait 
en celle de Mac Laurin, comme dans le cas d’une seule variable, si 
l’on y comptait les accroissements h, k, l à partir de valeurs nulles des 
variables x, y, z ; ce qui permettrait d’appeler finalement x, y, z ces 
accroissements h, k, l.