MÉTII. DES MOINDRES CARRÉS, EVIENS. DE LA RÈGLE DES MOYENNES. i/Ji* 
nous chercherons naturellement, vu l'impossibilité d’annuler à la fois 
tous leurs premiers membres, à rendre du moins aussi petite que pos 
sible la somme des valeurs absolues de ces premiers membres ou, plus 
«énéralement, la somme des puissances d’un certain degré m de ces 
valeurs absolues, en choisissant l'exposant m de manière que cette 
somme soit une fonction graduellement variable de x, y, z et qu’elle 
admette un minimum unique facile à calculer. En effet, dans ces con 
ditions, la somme des puissances m lèmes des premiers membres, pris 
en valeur absolue, du système (i3), somme qui ne peut s’abaisser 
jusqu’à la limite zéro, mais qui peut en approcher beaucoup à raison 
de la quasi-compatibilité des équations (i3), aura ses petites valeurs, 
rendant très faibles ces premiers membres, toutes groupées dans le 
voisinage du minimum, vu que, si l’on vient à s’éloigner du minimum 
en imprimant à x, y, z des variations modérées de sens inverses, la 
somme en question, à dérivée graduellement variable, grandira presque 
de même, entraînant dans son accroissement quelques-uns au moins 
des premiers membres du système (i3). C’est bien dire que les va 
leurs de x, y, z correspondant au minimum considéré tiendront à 
peu près le milieu entre toutes celles qui vérifieraient passablement 
les équations; et l'on pourra les adopter comme constituant les 
évaluations les plus sures des inconnues, en vertu du principe de bon 
sens auquel nous devons la règle des moyennes. 
Reste à choisir l’exposant m. On ne peut lui attribuer la valeur i, 
car alors la fonction à rendre minimum serait la somme des premiers 
membres de (i3) pris en valeur absolue, somme qui, bien que con 
tinue strictement parlant, ne varie pas d’une manière graduelle, 
ses dérivées en x, y, z croissant brusquement de ±2 a, ±2/> 
ou±2C quand un des premiers membres, dont j’écrirai la valeur 
absolue zyl^cix -f- b y H- cz — d), y change de signe ou y devient 
±[ax -+- b y -h cz — d), tandis qu’entre deux de ces changements 
de signe, les mêmes dérivées en x, y, z restent constantes. Il n’y 
a donc pas, dans une pareille somme, la continuité de variation né 
cessaire pour que son minimum, supposé môme avoir toujours sa 
situation (x 1 y, z) bien déterminée, occupe généralement une position 
à peu près moyenne entre toutes celles des petites valeurs de la fonc 
tion. D’ailleurs, dans le cas le plus simple, qui est celui de deux 
équations seulement de la forme x — a A — o, x — a 2 = o, où la règle 
des moyennes indique pour x la valeur u 2 ) équidistante de a v 
et de a 2 , les écarts x — a u x — a. 2 , dont l’un, x — a v par exemple, est 
positif, et l’autre, x — a 2 , négatif tant que x se trouve compris entre 
«1 et a 2 , ont alors leur somme absolue a 2 — ci l constante et, par con-