!^2* METH. DES MOINDRES CARRES, EXTEXS. DE LA RÈGLE DES MOYENNES.
sequent, dépourvue d’un minimum correspondant à une valeur déter
minée de x.
L’exposant m, qui ne peut ainsi recevoir la valeur i, devra évidem
ment être tel, que les équations du minimum soient du premier degré
en x, y, z, comme l’est l’équation (12) quand on peut appliquer la
règle des moyennes : car il serait peu naturel de faire dépendre d’é
quations de degré supérieur la résolution approximative d’un système
qui n’est que du premier degré; et, d’ailleurs, un système complet
d’équations du premier degré en x, /, z, n’admettant qu’une solution,
impliquera le plus simplement possible l’unité du minimum désiré. Or
comme, pour toute fonction graduellement variable de x, y, z, les équa
tions du minimum se forment en annulant les dérivées partielles pre
mières de la fonction, la somme absolue des puissances m ièmes des pre
miers membres du système (i3) devra être du second degré en x, y,z,
si l’on veut que ses dérivées ainsi annulées donnent des équations
du premier. Il faudra donc prendre m = 2 on, autrement dit, rendre
minimum la somme, graduellement variable,
(a,x-h b,y -h CiZ — dé)-
—1—(ct-jX —h b2 V -1- c^z — d-t )'-
-+-{a n x-+-b n y-r-c n z —d n y-.
Ce minimum existe bien ; car l’expression essentiellement positive
(1/4) grandit indéfiniment quand une ou plusieurs des variables x, y, z
deviennent infinies positives ou négatives, et elle a nécessairement,
dans l’intervalle, une valeur inférieure aux autres, pour laquelle s’annu
lent ses dérivées premières en x, r, c. Celles-ci étant respectivement
2 ( « 1 ¿r —t- b ¡y —j— Ci z — d\ )«i -+- ...,
2-h b x y -+- Ci z — di)bi ~ ....
2(«i«- -t- biy -t- CiZ —■ d l )c i - ...,
il vient comme équations du minimum, entre les inconnues en même
nombre x, y, z, le système du premier degré
1 (la 2 ).r — (lab)y -h (Z«c)^ = lad,
(i5) | (lba)x -4- {lb 2 )y h- (1 bc)z = 1 bd,
( (lca)x-h (1 cb)y-h (le 2 )z = lcd,
où la-, lab, etc. désignent, conformément à une notation abré
gée très ordinaire, les sommes respectives a\ -h a\ -4- ... -t-««,
«t b y -f- a 2 b., -f- ... -1- a„ b„, etc.
