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REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE RÉSULTATS OBSERVÉS. i/,3*
Telles sont les combinaisons, dites équations normales, qu’on for-
mera avec les relations proposées (i3), pour obtenir, en quelque sorte,
les moyennes cc, y, z de toutes les valeurs vérifiant assez bien celles-
ci ; ces combinaisons résultent, on le voit, de l’addition des équations
(i3) respectivement multipliées soit par les coefficients a l} a 2 , ..., a n
de x, soit par ceux, b u b. 2 ,-..., b n , de y, etc.
Comme les premiers membres de (i3) expriment, pour des valeurs
quelconques de x, y, s, les erreurs correspondantes avec lesquelles sont
vérifiées ces équations, la somme (i4) de leurs carrés est dite la somme
des carrés des erreurs. Aussi le mode approximatif indiqué de réso
lution d’un système incompatible, où l’on rend celte somme minimum,
est-il appelé méthode des moindres carrés des erreurs. 11 a été per
fectionné par Gauss; mais Legendre, le premier, Ta trouvé et a re
marqué que la règle des moyennes, d’après laquelle on substitue l’é
quation (12) au système (n), revenait à rendre minimum la somme
(x— «i) 2 -t- (¿r — «î) 2 + • • • +(•*■ — a n )' des carrés des premiers membres,
par l’annulation de sa dérivée eiu, i{x—a l )-h2{x—a i )-\-...- s r z{æ—a n );
ce qui lui suggéra sans doute l’idée d’en faire autant dans le cas d’é
quations quelconques. ■
On voit, par cette remarque de Legendre, que la méthode des
moindres carrés comprend comme cas particulier la règle des moyennes,
ou que, dans le cas simple auquel répond cette règle, elle donne, non
pas à peu près (comme on avait le droit de s’y attendre), mais exac
tement, le même milieu qu’elle entre plusieurs observations; de
sorte qu’on peut la regarder comme en étant la généralisation natu
relle.
Malheureusement, son emploi est d’ordinaire très laborieux, à cause
des multiplications nombreuses qu’exige le calcul des coefficients Sût 2 ,
Zab, etc., figurant dans les équations normales. Aussi convient-il de
n’aborder ce long et aride calcul qu’après avoir reconnu, par de
simples constructions graphiques permettant de saisir d’un coup d’œil
l’ensemble des résultats observés, si ces résultats sont assez concor
dants pour qu’on puisse regarder les observations comme suffisantes,
et si les formules qu’on se propose d’appliquer les reproduisent à fort
peu près. Dans ce but, ne faisant changer à la fois qu’une des va
riables indépendantes choisies, on porte, à partir d’une origine, ses
diverses valeurs constatées, sur un axe horizontal des abscisses et, à
la suite, on mène verticalement des ordonnées égales aux valeurs cor
respondantes, aussi observées, de la fonction. Chaque observation
étant ainsi représentée sur le plan par l’extrémité d’une ordonnée,
l’ensemble des points obtenus pour exprimer les observations rela-
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