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FONCTIONS N’ADMETTANT QUE DES MIN IM A NUES. 
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somme A 2 o égale à zéro par hypothèse et leurs deux dérivées respec- 
dp dp 
tives en y et en x, ^ 
do 2 
/j-, ■> de son paramètre 
■> évidemment identiques à celles de <r en 
x et en y. Considérons le carré, A 2 o = 
* dx 2 
différentiel du premier ordre en un point quelconque {x, y) du plan, 
et imaginons qu’on y élève verticalement une ordonnée z égale à la 
moitié, |Aj cp, de ce carré. Nous aurons ainsi la fonction, essentiellement 
positive, 
(.6) : “ + 
dont il s’agit de trouver les maxima et les minima. Des différentia 
tions immédiates donnent pour ses dérivées partielles premières et 
secondes p, q, r, s, t, en se rappelant les notations p, a, — p des déri 
vées secondes de cp, ainsi que l’expression des deux dérivées premières 
de <s au moyen de celles de p : 
¿/cp ^ do 
dx ^ dy **’ 
do do 
fa (J ~ ÿ P ’ 
' do dp do dp \ 
dx dx dy dy ) ’ 
(i7) 
do dp 
dy dx ’ 
' c Il 
. dx dx 
do dp \ 
dy dy ) 
dx dy 
t = (a* p - ) — 
Une double application de l’identité connue 
(aa'+ bb') 2 -y (ab' — ba')- — (« 2 y b*){a î 
en déduit de suite 
b' 2 ) 
do 2 \ 
, d?*\ 
y 
\ dx 2 
dy 2 ) 
_ 
\dx 2 
dy 2 / 
(i8) 
ou bien, par la substitution de 2z, d’après (16), à la somme des 
carrés des deux dérivées premières de o et par celle de A^p + A 2 ? à 
2Ajp (que rend possible l’égalité des dérivées premières de a en x et 
y à celles de p en y et de — p en x), 
(19) p-y (f- — 2 -(p2_j_ 3-2 ), rt-s 2 = (p 2 -f-a 2 ) 2 —-(Af p -f- Aj a). 
B. — I. Partie complémentaire. 10